En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , los hom-sets (es decir, conjuntos de morfismos entre objetos ) dan lugar a importantes funtores de la categoría de conjuntos . Estos funtores se denominan hom-funtores y tienen numerosas aplicaciones en la teoría de categorías y otras ramas de las matemáticas.
Sea C una categoría localmente pequeña (es decir, una categoría para la que las hom-classes son en realidad conjuntos y no clases propias ).
Tenga en cuenta que fijar el primer argumento de Hom naturalmente da lugar a un funtor covariante y fijar el segundo argumento naturalmente da un funtor contravariante. Este es un artefacto de la forma en que uno debe componer los morfismos.
El par de funtores Hom( A , –) y Hom(–, B ) están relacionados de forma natural . Para cualquier par de morfismos f : B → B ′ y h : A ′ → A el siguiente diagrama conmuta :
La conmutatividad del diagrama anterior implica que Hom(–, –) es un bifuntor de C × C a Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo. De manera equivalente, podemos decir que Hom(–, –) es un bifuntor
donde C op es la categoría opuesta a C . La notación Hom C (–, –) se usa a veces para Hom(–, –) para enfatizar la categoría que forma el dominio.