Interpolación polinomial

En el análisis numérico , la interpolación polinomial es la interpolación de un conjunto de datos dado por el polinomio de menor grado posible que pasa por los puntos del conjunto de datos. ^[1]

Dado un conjunto de n + 1 puntos de datos , sin dos iguales, se dice que una función polinomial interpola los datos si para cada uno .${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {n}, y_ {n})}$${\ Displaystyle x_ {j}}$${\ Displaystyle p (x)}$${\ Displaystyle p (x_ {j}) = y_ {j}}$${\ Displaystyle j \ in \ {0,1, \ dotsc, n \}}$

Dos fórmulas explícitas comunes para este polinomio son los polinomios de Lagrange y los polinomios de Newton .

Los polinomios se pueden usar para aproximar curvas complicadas, por ejemplo, las formas de las letras en la tipografía , ^{[ cita requerida ]} dados algunos puntos. Una aplicación relevante es la evaluación del logaritmo natural y las funciones trigonométricas : elija algunos puntos de datos conocidos, cree una tabla de búsqueda e interpole entre esos puntos de datos. Esto da como resultado cálculos significativamente más rápidos. ^{[ especificar ]} La interpolación polinómica también forma la base de los algoritmos en cuadratura numérica y ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas y Computación segura de múltiples partes, Esquemas para compartir secretos .

La interpolación polinomial también es esencial para realizar multiplicaciones subcuadráticas y cuadráticas como la multiplicación de Karatsuba y la multiplicación de Toom-Cook , donde una interpolación a través de puntos en un polinomio que define el producto produce el producto en sí. Por ejemplo, dado a = f ( x ) = a ₀ x ⁰ + a ₁ x ¹ + ... y b = g ( x ) = b ₀ x ⁰ + b ₁ x ¹ + ..., el producto abes equivalente a W ( x ) = f ( x ) g ( x ). Encontrar puntos a lo largo de W ( x ) sustituyendo x por valores pequeños en f ( x ) y g ( x ) produce puntos en la curva. La interpolación basada en esos puntos producirá los términos de W ( x ) y, posteriormente, el producto ab. En el caso de la multiplicación de Karatsuba, esta técnica es sustancialmente más rápida que la multiplicación cuadrática, incluso para entradas de tamaño modesto. Esto es especialmente cierto cuando se implementa en hardware paralelo.

Existe un polinomio único de grado como máximo que interpola los puntos de datos , donde no hay dos iguales. ^[2]${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ dotsc, (x_ {n}, y_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle x_ {j}}$

Los puntos rojos indican los puntos de datos ( x _k , y _k ) , mientras que la curva azul muestra el polinomio de interpolación.

Interpretación geométrica de la interpolación cúbica de Catmull-Rom del punto negro con abscisas espaciadas uniformemente. ^[9]