En la teoría matemática de la invariante , una invariante de una forma binaria es un polinomio en los coeficientes de una forma binaria en dos variables xey que permanece invariante bajo el grupo lineal especial que actúa sobre las variables xey .
Una forma binaria (de grado n ) es un polinomio homogéneo Σn
yo = 0 (n
yo) un norte - yo X norte - yo y yo = un norte X norte + (n
1) un norte −1 X norte −1 y + ... + un 0 y norte . El grupo SL 2 ( C ) actúa sobre estas formas llevando x a ax + by ey a cx + dy . Esto induce una acción sobre el espacio generado por a 0 , ..., an y sobre los polinomios de estas variables. Un invariante es un polinomio en estas n + 1 variables a 0 , ..., an que es invariante bajo esta acción. De manera más general, una covariante es un polinomio en a 0 , ..., a n , x , y que es invariante, por lo que una invariante es un caso especial de una covariante donde las variables x e y no ocurren. Aún más generalmente, un invariante simultáneo es un polinomio en los coeficientes de varias formas diferentes en x e y .
En términos de teoría de la representación , dada cualquier representación V del grupo SL 2 ( C ) se puede preguntar por el anillo de polinomios invariantes en V. Las invariantes de una forma binaria de grado n corresponden a tomar V como la representación irreducible ( n + 1)-dimensional, y las covariantes corresponden a tomar V como la suma de las representaciones irreducibles de dimensiones 2 y n + 1.
Las invariantes de una forma binaria forman un álgebra graduada , y Gordan (1868) demostró que esta álgebra es finitamente generada si el campo base son los números complejos.
Las formas de los grados 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 a veces se denominan cuádricas, cúbicas, cuárticas, quínticas, sextas, sépticas o septímicas, octicas u octávicas, nonicas y décimas o décimas. "Quantic" es un nombre antiguo para una forma de grado arbitrario. Las formas en 1, 2, 3, 4, ... variables se denominan formas unarias, binarias, ternarias, cuaternarias, ....
La estructura del anillo de invariantes se ha elaborado para pequeños grados. Sylvester & Franklin (1879) dieron tablas de los números de generadores de invariantes y covariantes para formas de grado hasta 10, aunque las tablas tienen algunos errores menores para grados grandes, principalmente donde se omiten algunas invariantes o covariantes.