En matemáticas , en particular álgebra abstracta , un anillo graduado es un anillo tal que el grupo aditivo subyacente es una suma directa de grupos abelianos. tal que . El conjunto de índices suele ser el conjunto de enteros no negativos o el conjunto de enteros, pero puede ser cualquier monoide . La descomposición de suma directa se suele denominar gradación o gradación .
Un módulo graduado se define de manera similar (consulte a continuación para obtener una definición precisa). Generaliza espacios vectoriales graduados . Un módulo graduado que también es un anillo graduado se llama álgebra graduada . Un anillo graduado también podría verse como un anillo graduado.-álgebra.
La asociatividad no es importante (de hecho, no se usa en absoluto) en la definición de un anillo graduado; por tanto, la noción se aplica también a las álgebras no asociativas ; por ejemplo, se puede considerar un álgebra de Lie graduada .
Primeras propiedades
Generalmente, se supone que el conjunto de índices de un anillo graduado es el conjunto de números enteros no negativos, a menos que se especifique explícitamente lo contrario. Este es el caso de este artículo.
Un anillo graduado es un anillo que se descompone en una suma directa.
de grupos aditivos , de manera que
para todos los enteros no negativos y .
Un elemento distinto de cero de se dice que es homogéneo de grado . Por definición de una suma directa, cada elemento distinto de cero de se puede escribir de forma única como una suma donde cada es 0 u homogéneo de grado . El distinto de ceroson los componentes homogéneos de .
Algunas propiedades básicas son:
- es un subanillo de; en particular, la identidad multiplicativa es un elemento homogéneo de grado cero.
- Para cualquier , es de dos caras - módulo , y la descomposición de suma directa es una suma directa de-módulos.
- es un asociativo-álgebra .
Un ideal es homogéneo , si para cada, los componentes homogéneos de también pertenecen a (De manera equivalente, si es un submódulo calificado de ; ver § Módulo graduado .) La intersección de un ideal homogéneo con es un -submódulo de llamada la parte homogénea de grado de . Un ideal homogéneo es la suma directa de sus partes homogéneas.
Si es un ideal homogéneo de dos caras en , luego es también un anillo graduado, descompuesto como
dónde es la parte homogénea de grado de .
Ejemplos básicos
- Cualquier anillo (no clasificado) R puede recibir una gradación dejando, y para i ≠ 0. Esto se llama la gradación trivial en R .
- El anillo polinomial se clasifica por grado : es una suma directa deformado por polinomios homogéneos de grado i .
- Deje S el conjunto de todos los elementos distintos de cero homogéneo en un graduada dominio integral R . Entonces la localización de R con respecto a S es un-anillo graduado.
- Si I es un ideal en un anillo conmutativo R , entonceses un anillo graduado llamado anillo graduado asociado de R a lo largo de I ; geométricamente, es el anillo de coordenadas del cono normales a lo largo de la subvariedad definido por I .
- Deje X un espacio topológico, H i (X; R) el i -ésimo grupo cohomology con coeficientes en un anillo R . Entonces H * (X; R) , el anillo de cohomología de X con coeficientes en R , es un anillo graduado cuyo grupo subyacente es con la estructura multiplicativa dada por el producto de taza.
Módulo graduado
La idea correspondiente en la teoría de módulos es la de un módulo graduado , es decir, un módulo izquierdo M sobre un anillo graduado R tal que también
y
Ejemplo : un espacio vectorial calificado es un ejemplo de un módulo calificado sobre un campo (el campo tiene una calificación trivial).
Ejemplo : un anillo graduado es un módulo graduado sobre sí mismo. Un ideal en un anillo escalonado es homogéneo si y solo si es un submódulo escalonado. El aniquilador de un módulo graduado es un ideal homogéneo.
Ejemplo : Dado un ideal I en un anillo conmutativo R y un R -módulo M , la suma directa es un módulo graduado sobre el anillo graduado asociado .
Un morfismo entre módulos graduados, llamado morfismo graduado , es un morfismo de módulos subyacentes que respeta la clasificación; es decir,. Un submódulo calificado es un submódulo que es un módulo calificado por derecho propio y tal que la inclusión de la teoría de conjuntos es un morfismo de los módulos graduados. Explícitamente, un módulo calificado N es un submódulo calificado de M si y solo si es un submódulo de M y satisface. El núcleo y la imagen de un morfismo de módulos graduados son submódulos graduados.
Observación: Dar un morfismo graduado de un anillo graduado a otro anillo graduado con la imagen en el centro es lo mismo que dar la estructura de un álgebra graduada al último anillo.
Dado un módulo calificado , la -giro de es un módulo calificado definido por . (cf. Gavilla retorcida de Serre en geometría algebraica.)
Sea M y N módulos graduados. Sies un morfismo de módulos, entonces se dice que f tiene grado d si. Una derivada exterior de formas diferenciales en geometría diferencial es un ejemplo de tal morfismo que tiene grado 1.
Invariantes de módulos graduados
Dado un módulo graduado M sobre un anillo graduado conmutativo R , se puede asociar la serie de potencia formal:
(asumiendo son finitos.) Se llama la serie Hilbert-Poincaré de M .
Se dice que un módulo graduado se genera de forma finita si el módulo subyacente se genera de forma finita. Se puede considerar que los generadores son homogéneos (reemplazando los generadores por sus partes homogéneas).
Suponga que R es un anillo polinomial, k un campo, y M un módulo graduado generado finitamente sobre él. Entonces la funciónse llama la función de Hilbert de M . Los coincide función con el valor entero polinomio para grandes n llamado el polinomio de Hilbert de M .
Álgebra graduada
Un álgebra A sobre un anillo R es un álgebra graduada si se califica como un anillo.
En el caso habitual en el que el anillo R no está clasificado (en particular si R es un campo), se le da la clasificación trivial (cada elemento de R es de grado 0). Por lo tanto, y las piezas clasificadas son módulos R.
En el caso de que el anillo R también sea un anillo graduado, entonces se requiere que
En otras palabras, se requiere un ser un módulo de izquierda graduada sobre R .
Los ejemplos de álgebras graduadas son comunes en matemáticas:
- Anillos polinomiales . Los elementos homogéneos de grado n son exactamente los polinomios homogéneos de grado n .
- El álgebra tensorial de un espacio vectorial V . Los elementos homogéneos de grado n son los tensores de orden n ,.
- El álgebra exterior y el álgebra simétrica también son álgebras graduadas.
- El anillo de cohomología en cualquier teoría de cohomología también se clasifica, siendo la suma directa de los grupos de cohomología.
Las álgebras graduadas se utilizan mucho en álgebra conmutativa y geometría algebraica , álgebra homológica y topología algebraica . Un ejemplo es la estrecha relación entre polinomios homogéneos y variedades proyectivas (cf. anillo de coordenadas homogéneo ).
Anillos y álgebras de grado G
Las definiciones anteriores se han generalizado a anillos clasificados utilizando cualquier monoide G como conjunto de índices. Un anillo de grado G R es un anillo con una descomposición de suma directa
tal que
Elementos de R que se encuentran dentro para algunos se dice que son homogéneos de grado i .
La noción previamente definida de "anillo graduado" ahora se convierte en lo mismo que un -anillo graduado, donde es el monoide de los enteros no negativos en adición. Las definiciones de módulos graduados y álgebras también se pueden ampliar de esta manera reemplazando el conjunto de indexacióncon cualquier monoid G .
Observaciones:
- Si no requerimos que el anillo tenga un elemento de identidad, los semigrupos pueden reemplazar a los monoides .
Ejemplos:
- Un grupo clasifica naturalmente el anillo de grupo correspondiente ; de manera similar, los anillos de monoide se clasifican por el monoide correspondiente.
- Un superalgebra (asociativo) es otro término para un Z 2 {\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}} -álgebra graduada. Los ejemplos incluyen álgebras de Clifford . Aquí los elementos homogéneos son de grado 0 (par) o 1 (impar).
Anticommutatividad
Algunos anillos graduados (o álgebras) están dotados de una estructura anticomutativa . Esta noción requiere un homomorfismo del monoide de la gradación en el monoide aditivo de, el campo con dos elementos. Específicamente, un monoide firmado consta de un par dónde es un monoide y es un homomorfismo de monoides aditivos. Un anticomutativo-anillo clasificado es un anillo A clasificado con respecto a Γ tal que:
para todos los elementos homogéneos x y y .
Ejemplos de
- Un álgebra exterior es un ejemplo de un álgebra anticomutativa, calificado con respecto a la estructura dónde es el mapa de cocientes.
- Un álgebra superconmutativa (a veces llamado anillo asociativo sesgado-conmutativo ) es lo mismo que un anticomutativo.-algebra graduada, donde es el endomorfismo de identidad de la estructura aditiva de.
Monoide graduado
Intuitivamente, un monoide graduado es el subconjunto de un anillo graduado,, generado por el 's, sin utilizar la parte aditiva. Es decir, el conjunto de elementos del monoide graduado es.
Formalmente, un monoide graduado [1] es un monoide, con función de gradación tal que . Tenga en cuenta que la gradación de es necesariamente 0. Algunos autores solicitan además que cuando m no es la identidad.
Suponiendo que las gradaciones de los elementos que no son de identidad no son cero, el número de elementos de la gradación n es como máximodonde g es la cardinalidad de un grupo electrógeno G del monoide. Por lo tanto el número de elementos de gradación n o menos es como máximo (por ) o demás. De hecho, cada uno de estos elementos es el producto de como máximo n elementos de G , y solotales productos existen. Del mismo modo, el elemento de identidad no se puede escribir como el producto de dos elementos que no son de identidad. Es decir, no hay divisor de unidades en tal monoide graduado.
Serie de potencia indexada por un monoide graduado
Esta noción permite ampliar la noción de anillo en serie de potencias . En lugar de tener la familia de indexación, la familia de indexación podría ser cualquier monoide graduado, asumiendo que el número de elementos de grado n es finito, para cada número entero n .
Más formalmente, dejemos ser un semiring arbitrario yun monoide graduado. Luegodenota el semiring de series de potencia con coeficientes en K indexados por R . Sus elementos son funciones de R a K . La suma de dos elementos se define puntualmente, es la función que envía a . Y el producto es la función de envío. a la suma infinita . Esta suma está correctamente definida (es decir, finita) porque, para cada m , sólo existe un número finito de pares ( p , q ) tal que pq = m .
Ejemplo
En la teoría del lenguaje formal , dado un alfabeto A , el monoide libre de palabras sobre A puede considerarse como un monoide graduado, donde la gradación de una palabra es su longitud.
Ver también
- Anillo graduado asociado
- Álgebra diferencial graduada
- Álgebra filtrada , una generalización
- Calificado (matemáticas)
- Categoría calificada
- Espacio vectorial graduado
- Álgebra tensorial
- Módulo graduado diferencial
Referencias
- ^ Sakarovitch, Jacques (2009). "Parte II: El poder del álgebra". Elementos de la teoría de autómatas . Traducido por Thomas, Reuben. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177 .
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556.
- Bourbaki, N. (1974). "Cap. 1-3, 3 §3". Álgebra I . ISBN 978-3-540-64243-5.
- Steenbrink, J. (1977). "Formulario de intersección para singularidades cuasi homogéneas" (PDF) . Compositio Mathematica . 34 (2): 211–223 Consulte la pág. 211. ISSN 0010-437X .
Matsumura, H. (1989). "Teoría de las 5 dimensiones §S3 Anillos graduados, la función de Hilbert y la función de Samuel". Teoría del anillo conmutativo . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 8 . Traducido por Reid, M. (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-71712-1.