Línea proyectiva sobre un anillo
En matemáticas , la línea proyectiva sobre un anillo es una extensión del concepto de línea proyectiva sobre un campo . Dado un anillo A con 1, la línea proyectiva P( A ) sobre A consta de puntos identificados por coordenadas proyectivas . Sea U el grupo de unidades de A ; los pares ( a, b ) y ( c, d ) de A × A están relacionados cuando existe una u en U tal que ua = cy ub = d . Esta relación es una relación de equivalencia . Una clase de equivalencia típica se escribe U [ a, b ].
P( A ) = { U [ a, b ] : aA + bA = A }, es decir, U [ a, b ] está en la línea proyectiva si el ideal generado por a y b es todo A .
La línea proyectiva P( A ) está dotada de un grupo de homografías . Las homografías se expresan mediante el uso del anillo de matriz sobre A y su grupo de unidades V como sigue: Si c está en Z( U ), el centro de U , entonces la acción de grupo de la matriz sobre P( A ) es la misma que la acción de la matriz identidad. Tales matrices representan un subgrupo normal N de V. Las homografías de P( A ) corresponden a elementos del grupo cociente V / N .
P( A ) se considera una extensión del anillo A ya que contiene una copia de A debido a la incrustación E : a → U [ a , 1] . La aplicación inversa multiplicativa u → 1/ u , normalmente restringida al grupo de unidades U de A , se expresa mediante una homografía en P( A ):
Dado que u es arbitrario, puede sustituirse por u −1 . Las homografías en P( A ) se denominan transformaciones fraccionarias lineales ya que
Los anillos que son campos son los más familiares: la línea proyectiva sobre GF(2) tiene tres elementos: U [0,1], U [1,0] y U [1,1]. Su grupo de homografía es el grupo de permutación de estos tres. [1] : 29
