En cálculo vectorial , una función invex es una función diferenciable de a para lo cual existe una función de valor vectorial tal que
para todo x y u .
Las funciones inversas fueron introducidas por Hanson como una generalización de funciones convexas . [1] Ben-Israel y Mond proporcionaron una prueba simple de que una función es invexa si y solo si cada punto estacionario es un mínimo global , un teorema establecido por primera vez por Craven y Glover. [2] [3]
Hanson también mostró que si el objetivo y las restricciones de un problema de optimización son invexos con respecto a la misma función, entonces las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son suficientes para un mínimo global.
Funciones invex de tipo I
Una ligera generalización de las funciones invex denominadas funciones invex de Tipo I son la clase más general de funciones para las que las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son necesarias y suficientes para un mínimo global. [4] Considere un programa matemático de la forma
dónde y son funciones diferenciables. Dejardenotar la región factible de este programa. La funciónes una función objetivo de Tipo I y la funciónes una función de restricción de Tipo I encon respecto a si existe una función con valores vectoriales definido en tal que
y
para todos . [5] Tenga en cuenta que, a diferencia de la invexidad, la invexidad de Tipo I se define en relación con un punto.
Teorema (Teorema 2.1 en [4] ): Si y son invexiones de Tipo I en un punto con respecto a y las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker se cumplen en, luego es un minimizador global de encima .
Ver también
Referencias
- ^ Hanson, Morgan A. (1981). "Sobre la suficiencia de las condiciones de Kuhn-Tucker". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 80 (2): 545–550. doi : 10.1016 / 0022-247X (81) 90123-2 . hdl : 10338.dmlcz / 141569 . ISSN 0022-247X .
- ^ Ben-Israel, A .; Mond, B. (1986). "¿Qué es la iniquidad?" . El diario ANZIAM . 28 (1): 1–9. doi : 10.1017 / S0334270000005142 . ISSN 1839-4078 .
- ^ Craven, BD; Glover, BM (1985). "Funciones Invex y dualidad" . Revista de la Sociedad Matemática Australiana . 39 (1): 1–20. doi : 10.1017 / S1446788700022126 . ISSN 0263-6115 .
- ^ a b Hanson, Morgan A. (1999). "Invexidad y el teorema de Kuhn-Tucker". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 236 (2): 594–604. doi : 10.1006 / jmaa.1999.6484 . ISSN 0022-247X .
- ^ Hanson, MA; Mond, B. (1987). "Condiciones necesarias y suficientes en optimización restringida". Programación matemática . 37 (1): 51–58. doi : 10.1007 / BF02591683 . ISSN 1436-4646 .
Otras lecturas
- SK Mishra y G. Giorgi, Invexidad y optimización, Optimización no convexa y sus aplicaciones, Vol. 88 , Springer-Verlag, Berlín, 2008.
- SK Mishra, S.-Y. Wang y KK Lai, Convexidad generalizada y optimización vectorial, Springer, Nueva York, 2009.