En el análisis convexo y el cálculo de variaciones , ambas ramas de las matemáticas , una función pseudoconvexa es una función que se comporta como una función convexa con respecto a encontrar sus mínimos locales , pero que en realidad no necesita ser convexa. De manera informal, una función diferenciable es pseudoconvexa si aumenta en cualquier dirección en la que tenga una derivada direccional positiva . La propiedad debe mantenerse en todo el dominio de la función, y no solo en los puntos cercanos.
Definicion formal
Considere una función diferenciable, definido en un conjunto abierto convexo (no vacío) del espacio euclidiano de dimensión finita . Se dice que esta función es pseudoconvexa si se cumple la siguiente propiedad: [1]
Equivalentemente:
Aquí es el gradiente de, definido por:
Tenga en cuenta que la definición también puede expresarse en términos de la derivada direccional de, en la dirección dada por el vector . Esto se debe a que, como es diferenciable, esta derivada direccional viene dada por:
Propiedades
Relación con otros tipos de "convexidad"
Toda función convexa es pseudoconvexa, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la funciónes pseudoconvexo pero no convexo. De manera similar, cualquier función pseudoconvexa es cuasiconvexa ; pero lo contrario no es cierto, ya que la funciónes cuasiconvexo pero no pseudoconvexo. Esto se puede resumir esquemáticamente como:
Para ver eso no es pseudoconvexo, considere su derivada en : . Entonces sí era pseudoconvexo, deberíamos tener:
En particular, debería ser cierto para . Pero no lo es, como:.
Condición de optimalidad suficiente
Para cualquier función diferenciable, tenemos la condición necesaria de optimización del teorema de Fermat , que establece que: si tiene un mínimo local en , luego debe ser un punto estacionario de (es decir: ).
La pseudoconvexidad es de gran interés en el área de optimización , porque lo contrario también es cierto para cualquier función pseudoconvexa. Es decir: [2] sies un punto estacionario de una función pseudoconvexa, luego tiene un mínimo global en . Tenga en cuenta también que el resultado garantiza un mínimo global (no solo local).
Este último resultado también es cierto para una función convexa, pero no es cierto para una función cuasiconvexa. Considere, por ejemplo, la función cuasiconvexa:
Esta función no es pseudoconvexa, pero es cuasiconvexa. Además, el punto es un punto crítico de , como . Sin embargo, no tiene un mínimo global en (ni siquiera un mínimo local).
Finalmente, tenga en cuenta que una función pseudoconvexa puede no tener ningún punto crítico. Tomemos, por ejemplo, la función pseudoconvexa:, cuya derivada es siempre positiva: .
Ejemplos de
Un ejemplo de una función que es pseudoconvexa, pero no convexa, es: La figura muestra esta función para el caso donde . Este ejemplo se puede generalizar a dos variables como:
El ejemplo anterior puede modificarse para obtener una función que no sea convexa, ni pseudoconvexa, pero cuasiconvexa:
La figura muestra esta función para el caso donde . Como puede verse, esta función no es convexa debido a la concavidad, y no es pseudoconvexa porque no es diferenciable en.
Generalización a funciones no diferenciables
La noción de pseudoconvexidad se puede generalizar a funciones no diferenciables de la siguiente manera. [3] Dada cualquier función, podemos definir la derivada Dini superior de por:
donde u es cualquier vector unitario . Se dice que la función es pseudoconvexa si aumenta en cualquier dirección donde la derivada Dini superior sea positiva. Más precisamente, esto se caracteriza en términos de la subdiferencial como sigue:
dónde denota el segmento de línea contiguo a x e y .
Nociones relacionadas
A La función pseudoconcava es una función cuyo negativo es pseudoconvexo. ALa función pseudolinear es una función que es tanto pseudoconvexa como pseudoconcava. [4] Por ejemplo,los programas lineales fraccionariostienenfunciones objetivopseudolinealesyrestricciones de desigualdad lineal. Estas propiedades permiten resolver problemas lineales fraccionarios mediante una variante delalgoritmo simplex(deGeorge B. Dantzig). [5] [6] [7]
Dada una función con valores vectoriales , hay una noción más general de -seudoconvexidad [8] [9] y-pseudolinealidad; donde la pseudoconvexidad y la pseudolinealidad clásicas pertenecen al caso cuando.
Ver también
Notas
- ↑ Mangasarian 1965
- ↑ Mangasarian 1965
- ^ Floudas y Pardalos 2001
- ^ Rapcsak 1991
- ^ Capítulo cinco: Craven, BD (1988). Programación fraccionada . Serie Sigma en Matemática Aplicada. 4 . Berlín: Heldermann Verlag. pag. 145. ISBN 3-88538-404-3. Señor 0949209 .
- ^ Kruk, Serge; Wolkowicz, Henry (1999). "Programación pseudolineal". Revisión SIAM . 41 (4). págs. 795–805. doi : 10.1137 / S0036144598335259 . JSTOR 2653207 . Señor 1723002 .
- ^ Mathis, Frank H .; Mathis, Lenora Jane (1995). "Un algoritmo de programación no lineal para la gestión hospitalaria". Revisión SIAM . 37 (2). págs. 230–234. doi : 10.1137 / 1037046 . JSTOR 2132826 . Señor 1343214 .
- ^ Ansari, Qamrul Hasan; Lalitha, CS; Mehta, Monika (2013). Convexidad generalizada, desigualdades variacionales no suaves y optimización no suave . Prensa CRC. pag. 107. ISBN 9781439868218. Consultado el 15 de julio de 2019 .
- ^ Mishra, Shashi K .; Giorgi, Giorgio (2008). Invexidad y Optimización . Springer Science & Business Media. pag. 39. ISBN 9783540785613. Consultado el 15 de julio de 2019 .
Referencias
- Floudas, Christodoulos A .; Pardalos, Panos M. (2001), "Mapas multivalor monótonos generalizados", Enciclopedia de optimización , Springer, p. 227, ISBN 978-0-7923-6932-5.
- Mangasarian, OL (enero de 1965). "Funciones pseudoconvexas". Revista de la Sociedad Industrial y Matemáticas Aplicadas, serie A . 3 (2): 281–290. doi : 10.1137 / 0303020 . ISSN 0363-0129 ..
- Rapcsak, T. (15 de febrero de 1991). "Sobre funciones pseudolineales". Revista europea de investigación operativa . 50 (3): 353–360. doi : 10.1016 / 0377-2217 (91) 90267-Y . ISSN 0377-2217 .