Número de teléfono (matemáticas)
En matemáticas , los números de teléfono o los números de involución son una secuencia de números enteros que cuentan las formas en que n líneas telefónicas pueden conectarse entre sí, donde cada línea puede conectarse como máximo a otra línea. Estos números también describen el número de emparejamientos (el índice de Hosoya ) de un gráfico completo en n vértices, el número de permutaciones en n elementos que son involuciones , la suma de los valores absolutos de los coeficientes de los polinomios de Hermite , el número deCuadros jóvenes con n celdas y la suma de los grados de las representaciones irreductibles del grupo simétrico . Los números de involución fueron estudiados por primera vez en 1800 por Heinrich August Rothe , quien dio una ecuación de recurrencia mediante la cual se pueden calcular, [1] dando los valores (comenzando desde n = 0 )
John Riordan proporciona la siguiente explicación para estos números: suponga que un servicio telefónico tiene n suscriptores, dos de los cuales pueden estar conectados entre sí mediante una llamada telefónica. ¿Cuántos patrones diferentes de conexión son posibles? Por ejemplo, con tres suscriptores, hay tres formas de formar una sola llamada telefónica y un patrón adicional en el que no se realizan llamadas, para un total de cuatro patrones. [2] Por esta razón, los números que cuentan cuántos patrones son posibles a veces se denominan números de teléfono. [3] [4]
Cada patrón de conexiones por pares entre n suscriptores define una involución , una permutación de los suscriptores que es su propia inversa, en la que dos suscriptores que están haciendo una llamada entre sí se intercambian entre sí y todos los suscriptores restantes permanecen en su lugar. A la inversa, toda involución posible tiene la forma de un conjunto de intercambios de este tipo por pares. Por tanto, los números de teléfono también cuentan las involuciones. El problema de contar involuciones fue el problema de enumeración combinatoria original estudiado por Rothe en 1800 [1] y estos números también se han llamado números de involución. [5] [6]
En la teoría de grafos , un subconjunto de los bordes de un gráfico que toca cada vértice como máximo una vez se denomina coincidencia . El número de emparejamientos diferentes de un gráfico dado es importante en la teoría de grafos químicos , donde los gráficos modelan moléculas y el número de emparejamientos se conoce como índice de Hosoya . El mayor índice de Hosoya posible de un gráfico de n -vértices viene dado por los gráficos completos , para los cuales es posible cualquier patrón de conexiones por pares; por lo tanto, el índice de Hosoya de un gráfico completo en n vértices es el mismo que el n- ésimo número de teléfono. [7]
Un diagrama de Ferrers es una forma geométrica formada por una colección de n cuadrados en el plano, agrupados en un poliomino con un borde superior horizontal, un borde izquierdo vertical y una sola cadena monótona de bordes inferiores y derechos horizontales y verticales. Un cuadro de Young estándar se forma colocando los números del 1 al n en estos cuadrados de tal manera que los números aumenten de izquierda a derecha y de arriba a abajo en todo el cuadro. De acuerdo con la correspondencia de Robinson-Schensted , las permutaciones corresponden una a una con pares ordenados de cuadros de Young estándar.. Invertir una permutación corresponde a intercambiar los dos cuadros, por lo que las permutaciones autoinversas corresponden a cuadros únicos, emparejados con ellos mismos. [8] Por lo tanto, los números de teléfono también cuentan el número de cuadros de Young con n cuadrados. [1] En la teoría de la representación , los diagramas de Ferrers corresponden a las representaciones irreductibles del grupo simétrico de permutaciones, y los cuadros de Young con una forma determinada forman la base de la representación irreductible con esa forma. Por tanto, los números de teléfono dan la suma de los grados de las representaciones irreductibles.
| a | B | C | D | mi | F | gramo | h | ||
| 8 |   | 8 | |||||||
| 7 | 7 | ||||||||
| 6 | 6 | ||||||||
| 5 | 5 | ||||||||
| 4 | 4 | ||||||||
| 3 | 3 | ||||||||
| 2 | 2 | ||||||||
| 1 | 1 | ||||||||
| a | B | C | D | mi | F | gramo | h | ||