Isomorfismo de grupo

En álgebra abstracta , un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, los grupos se denominan isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomorfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos.

Dados dos grupos y un isomorfismo de grupo de a es un homomorfismo de grupo biyectivo de a Enunciado, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función biyectiva tal que para todos y en él se sostiene que ${\ Displaystyle (G, *)}$ ${\ Displaystyle (H, \ odot),}$ ${\ Displaystyle (G, *)}$ ${\ Displaystyle (H, \ odot)}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H.}$ ${\ Displaystyle f: G \ to H}$ ${\ Displaystyle u}$ ${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle G}$

Los dos grupos y son isomorfos si existe un isomorfismo de uno a otro. Esto está escrito: ${\ Displaystyle (G, *)}$ ${\ Displaystyle (H, \ odot)}$

A menudo, se pueden utilizar notaciones más breves y sencillas. Cuando las operaciones de grupo relevantes no son ambiguas, se omiten y se escribe:

A veces, incluso se puede escribir simplemente = Si tal notación es posible sin confusión o ambigüedad depende del contexto. Por ejemplo, el signo igual no es muy adecuado cuando los grupos son ambos subgrupos del mismo grupo. Vea también los ejemplos. ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H.}$

Por el contrario, dado a un grupo un conjunto y una biyección , podemos hacer un grupo definiendo ${\ Displaystyle (G, *),}$ ${\ Displaystyle H,}$ ${\ Displaystyle f: G \ a H,}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle (H, \ odot)}$