Función de toma

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En matemáticas , la función de Jack es una generalización del polinomio de Jack , introducido por Henry Jack . El polinomio de Jack es un polinomio homogéneo y simétrico que generaliza los polinomios de Schur y zonal y, a su vez, es generalizado por los polinomios de Heckman-Opdam y los polinomios de Macdonald .

La función Jack de una partición , parámetro y argumentos enteros se puede definir recursivamente de la siguiente manera:${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$ ${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ estilo de visualización \ alfa}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}}$

donde la suma es sobre todas las particiones , de modo que la partición oblicua es una franja horizontal , a saber${\ estilo de visualización \ mu}$ ${\ estilo de visualización \ kappa / \ mu}$

donde es igual si y en caso contrario. Las expresiones y se refieren a las particiones conjugadas de y , respectivamente. La notación significa que el producto se toma sobre todas las coordenadas de las cajas en el diagrama de Young de la partición .${\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}$${\ estilo de visualización \ kappa _ {j}' = \ mu _ {j}'}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)}$${\ estilo de visualización \ kappa '}$${\ estilo de visualización \ mu '}$${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ estilo de visualización \ mu}$${\ estilo de visualización (i, j) \ en \ kappa}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \kappa }$

En 1997, F. Knop y S. Sahi ^[1] dieron una fórmula puramente combinatoria para los polinomios de Jack en n variables:${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}}$

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