En matemáticas , los polinomios de Schur , llamados así por Issai Schur , son ciertos polinomios simétricos en n variables, indexadas por particiones , que generalizan los polinomios simétricos elementales y los polinomios simétricos homogéneos completos . En la teoría de la representación son los caracteres de representaciones polinomiales irreductibles de los grupos lineales generales . Los polinomios de Schur forman una base linealpara el espacio de todos los polinomios simétricos. Cualquier producto de polinomios de Schur puede escribirse como una combinación lineal de polinomios de Schur con coeficientes integrales no negativos; los valores de estos coeficientes vienen dados de forma combinatoria por la regla de Littlewood-Richardson . De manera más general, los polinomios de Schur sesgados están asociados con pares de particiones y tienen propiedades similares a los polinomios de Schur.
Definición (fórmula bialternant de Jacobi)
Los polinomios de Schur están indexados por particiones enteras . Dada una partición λ = ( λ 1 , λ 2 ,…, λ n ) , donde λ 1 ≥ λ 2 ≥… ≥ λ n , y cada λ j es un número entero no negativo, las funciones
son polinomios alternos por propiedades del determinante . Un polinomio se alterna si cambia de signo bajo cualquier transposición de las variables.
Como son alternos, todos son divisibles por el determinante de Vandermonde ,
Los polinomios de Schur se definen como la relación
que se conoce como la fórmula bialternant de Jacobi. Es un caso especial de la fórmula del carácter de Weyl .
Esta es una función simétrica porque el numerador y el denominador son alternados y un polinomio, ya que todos los polinomios alternos son divisibles por el determinante de Vandermonde.
Propiedades
Los polinomios de grado d Schur en n variables son una base lineal para el espacio de polinomios simétricos de grado d homogéneos en n variables. Para una partición λ = ( λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) , el polinomio de Schur es una suma de monomios,
donde la suma cubre todos los cuadros de Young semiestándar T de forma λ . Los exponentes t 1 , ..., t n dan el peso de T , en otras palabras, cada t i recuentos de las ocurrencias del número i en T . Se puede demostrar que esto es equivalente a la definición de la primera fórmula de Giambelli utilizando el lema de Lindström-Gessel-Viennot (como se describe en esa página).
Los polinomios de Schur se pueden expresar como combinaciones lineales de funciones simétricas monomiales m μ con coeficientes enteros no negativos K λμ llamados números de Kostka ,
Los números de Kostka K λμ vienen dados por el número de cuadros de Young semiestándar de forma λ y peso μ .
Identidades Jacobi-Trudi
La primera fórmula de Jacobi-Trudi expresa el polinomio de Schur como determinante en términos de los polinomios simétricos homogéneos completos ,
donde h i : = s ( i ) . [1]
La segunda fórmula de Jacobi-Trudi expresa el polinomio de Schur como determinante en términos de los polinomios simétricos elementales ,
donde e i : = s (1 i ) y λ ' es la partición conjugada a λ . [2]
En ambas identidades, las funciones con subíndices negativos se definen como cero.
La identidad de Giambelli
Otra identidad determinante es la fórmula de Giambelli , que expresa la función de Schur para una partición arbitraria en términos de las de las particiones de gancho contenidas en el diagrama de Young. En la notación de Frobenius, la partición se denota
donde, para cada elemento diagonal en la posición ii , a i denota el número de casillas a la derecha en la misma fila y b i denota el número de casillas debajo de él en la misma columna (la longitud del brazo y la pierna , respectivamente).
La identidad de Giambelli expresa la función de Schur correspondiente a esta partición como determinante
de los de particiones de gancho.
La identidad de Cauchy
La identidad de Cauchy para las funciones de Schur (ahora en infinitas variables), y su estado dual que
y
donde la suma se toma sobre todas las particiones λ , y, denotan las funciones simétricas completas y las funciones simétricas elementales , respectivamente. Si se toma la suma de los productos de los polinomios de Schur en variables , la suma incluye solo particiones de longitud ya que de lo contrario los polinomios de Schur desaparecen.
Hay muchas generalizaciones de estas identidades a otras familias de funciones simétricas. Por ejemplo, los polinomios de Macdonald, los polinomios de Schubert y los polinomios de Grothendieck admiten identidades similares a las de Cauchy.
Otras identidades
El polinomio de Schur también se puede calcular mediante la especialización de una fórmula para polinomios de Hall-Littlewood ,
dónde es el subgrupo de permutaciones tales que para todo i , y w actúa sobre variables permutando índices.
La regla de Murnaghan-Nakayama
La regla de Murnaghan-Nakayama expresa un producto de una función simétrica de suma de potencia con un polinomio de Schur, en términos de polinomios de Schur:
donde la suma es sobre todas las particiones mu tal que μ / λ es una llanta-gancho de tamaño r y ht (μ / λ) es el número de filas en el diagrama de μ / λ .
La regla de Littlewood-Richardson y la fórmula de Pieri
Los coeficientes de Littlewood-Richardson dependen de tres particiones , digamos, de los cuales y describir las funciones de Schur que se multiplican, y da la función de Schur de la cual este es el coeficiente en la combinación lineal; en otras palabras son los coeficientes tal que
La regla de Littlewood-Richardson establece que es igual al número de cuadros de Littlewood-Richardson de forma sesgada y de peso .
La fórmula de Pieri es un caso especial de la regla de Littlewood-Richardson, que expresa el productoen términos de polinomios de Schur. La versión dual expresa en términos de polinomios de Schur.
Especializaciones
Al evaluar el polinomio de Schur s λ en (1,1, ..., 1) se obtiene el número de cuadros de Young semiestándar de forma λ con entradas en 1, 2, ..., n . Uno puede mostrar, usando la fórmula de caracteres de Weyl, por ejemplo, que
En esta fórmula, λ , la tupla que indica el ancho de cada fila del diagrama de Young, se extiende implícitamente con ceros hasta que tiene una longitud n . La suma de los elementos λ i es d . Consulte también la fórmula de la longitud del gancho que calcula la misma cantidad para λ fijo.
Ejemplo
El siguiente ejemplo ampliado debería ayudar a aclarar estas ideas. Considere el caso n = 3, d = 4. Usando diagramas de Ferrers o algún otro método, encontramos que hay solo cuatro particiones de 4 en como máximo tres partes. Tenemos
y así sucesivamente, donde es el determinante de Vandermonde . Resumiendo:
Cada polinomio simétrico homogéneo de grado cuatro en tres variables se puede expresar como una combinación lineal única de estos cuatro polinomios de Schur, y esta combinación se puede encontrar nuevamente usando una base de Gröbner para un orden de eliminación apropiado. Por ejemplo,
es obviamente un polinomio simétrico que es homogéneo de grado cuatro, y tenemos
Relación con la teoría de la representación
Los polinomios de Schur ocurren en la teoría de representación de los grupos simétricos , grupos lineales generales y grupos unitarios . La fórmula del carácter de Weyl implica que los polinomios de Schur son los caracteres de representaciones irreductibles de dimensión finita de los grupos lineales generales, y ayuda a generalizar el trabajo de Schur a otros grupos de Lie compactos y semisimplejos .
Surgen varias expresiones para esta relación, una de las más importantes es la expansión de las funciones de Schur s λ en términos de las funciones de potencia simétricas. Si escribimos χλ
ρ para el carácter de la representación del grupo simétrico indexado por la partición λ evaluado en elementos de tipo de ciclo indexados por la partición ρ, entonces
donde ρ = (1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , ...) significa que la partición ρ tiene r k partes de longitud k .
Una prueba de esto se puede encontrar en R. Stanley's Enumerative Combinatorics Volume 2, Corolario 7.17.5.
Los enteros χλ
ρse puede calcular utilizando la regla de Murnaghan-Nakayama .
Positividad Schur
Debido a la conexión con la teoría de la representación, una función simétrica que se expande positivamente en las funciones de Schur es de particular interés. Por ejemplo, las funciones de Schur sesgadas se expanden positivamente en las funciones de Schur ordinarias y los coeficientes son coeficientes de Littlewood-Richardson.
Un caso especial de esto es la expansión de las funciones simétricas homogéneas completas h λ en funciones de Schur. Esta descomposición refleja cómo un módulo de permutación se descompone en representaciones irreductibles.
Métodos para demostrar la positividad de Schur
Hay varios enfoques para demostrar la positividad de Schur de una función simétrica F dada . Si F se describe de manera combinatoria, un enfoque directo es producir una biyección con cuadros de Young semiestándar. La correspondencia de Edelman-Green y la correspondencia de Robinson-Schensted-Knuth son ejemplos de tales biyecciones.
Una biyección con más estructura es una prueba utilizando los llamados cristales . Este método puede describirse como la definición de una determinada estructura gráfica descrita con reglas locales sobre los objetos combinatorios subyacentes.
Una idea similar es la noción de equivalencia dual. Este enfoque también utiliza una estructura gráfica, pero sobre los objetos que representan la expansión en la base cuasimétrica fundamental. Está estrechamente relacionado con la correspondencia RSK.
Generalizaciones
Funciones Skew Schur
Sesgo Las funciones de Schur s λ / μ dependen de dos particiones λ y μ, y se pueden definir mediante la propiedad
Aquí, el producto interior es el producto interior Hall, para el cual los polinomios de Schur forman una base ortonormal.
De manera similar a los polinomios de Schur ordinarios, existen numerosas formas de calcularlos. Las identidades correspondientes de Jacobi-Trudi son
También hay una interpretación combinatoria de los polinomios sesgados de Schur, es decir, es una suma de todos los cuadros de Young semiestándar (o cuadros de columnas estrictas) de la forma sesgada. .
Los polinomios sesgados de Schur se expanden positivamente en los polinomios de Schur. La regla de Littlewood-Richardson da una regla para los coeficientes .
Polinomios de doble Schur
Los polinomios dobles de Schur [3] pueden verse como una generalización de los polinomios de Schur desplazados. Estos polinomios también están estrechamente relacionados con los polinomios factoriales de Schur. Dada una partición λ , y una secuencia a 1 , a 2 ,… uno puede definir el polinomio de Schur doble s λ ( x || a ) como
donde la suma se toma sobre todos los cuadros de Young semiestándar inversos T de forma λ , y las entradas enteras en 1,…, n . Aquí T (α) denota el valor en el cuadro de α en T y C (α) es el contenido de la caja.
AI Molev in da una regla combinatoria para los coeficientes de Littlewood-Richardson (dependiendo de la secuencia a ). [3] En particular, esto implica que los polinomios de Schur desplazados tienen coeficientes de Littlewood-Richardson no negativos.
Los polinomios de Schur desplazados , s * λ ( y ) , se pueden obtener de los polinomios de Schur dobles especializando a i = - i y y i = x i + i .
Los polinomios dobles de Schur son casos especiales de los polinomios dobles de Schubert .
Polinomios factoriales de Schur
Los polinomios factoriales de Schur se pueden definir como sigue. Dada una partición λ, y una secuencia doblemente infinita…, a −1 , a 0 , a 1 ,… se puede definir el polinomio factorial de Schur s λ ( x | a ) como
donde la suma se toma sobre todos los cuadros de Young semi-estándar T de forma λ, y entradas enteras en 1,…, n . Aquí T (α) denota el valor en el cuadro α en T yc (α) es el contenido del cuadro.
También hay una fórmula determinante,
donde ( y | a ) k = ( y - a 1 ) ... ( y - a k ). Está claro que si dejamos a i = 0 para todo i , recuperamos el polinomio de Schur habitual s λ .
Los polinomios dobles de Schur y los polinomios factoriales de Schur en n variables están relacionados mediante la identidad s λ ( x || a ) = s λ ( x | u ) donde a n-i + 1 = u i .
Otras generalizaciones
Existen numerosas generalizaciones de los polinomios de Schur:
- Polinomios de Hall-Littlewood
- Polinomios de Schur desplazados
- Polinomios de Schur marcados
- Polinomios de Schubert
- Funciones simétricas de Stanley (también conocidas como polinomios estables de Schubert)
- Polinomios clave (también conocidos como caracteres Demazure)
- Polinomios de Schur cuasi-simétricos
- Polinomios de Schur estrictos por filas
- Polinomios de Jack
- Polinomios modulares de Schur
- Funciones Loop Schur
- Polinomios de Macdonald
- Polinomios de Schur para el grupo simpléctico y ortogonal.
- k -Funciones de Schur
- Polinomios de Grothendieck ( K -análogo teórico de los polinomios de Schur)
- Polinomios LLT
Ver también
- Funtor de Schur
- Regla de Littlewood-Richardson , donde se encuentran algunas identidades que involucran polinomios de Schur.
Referencias
- Macdonald, IG (1995). Funciones simétricas y polinomios de Hall . Monografías de matemáticas de Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-853489-1. Señor 1354144 .
- Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Funciones de Schur en combinatoria algebraica" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Sturmfels, Bernd (1993). Algoritmos en teoría invariante . Saltador. ISBN 978-0-387-82445-1.
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- ^ Fulton y Harris 1991 , Fórmula A.5
- ^ Fulton y Harris 1991 , Fórmula A.6
- ^ a b Molev, AI (junio de 2009). "Polinomios de Littlewood-Richardson". Revista de álgebra . 321 (11): 3450–68. arXiv : 0704.0065 . doi : 10.1016 / j.jalgebra.2008.02.034 .