Función Jackson q -Bessel

En matemáticas, a Jackson q función -Bessel (o función básica Bessel ) es uno de los tres q -analogs de la función de Bessel introducido por Jackson  ( 1906a , 1906b , 1905a , 1905b ). La tercera función q- Bessel de Jackson es la misma que la función q- Bessel de Hahn-Exton .

Definición

Las tres funciones de Jackson q -Bessel se dan en términos del símbolo q -Pochhammer y la función hipergeométrica básica por${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{2}\phi _{1}(0,0;q^{\nu +1};q,-x^{2}/4),\quad |x|<2,}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{0}\phi _{1}(;q^{\nu +1};q,-x^{2}q^{\nu +1}/4),\quad x\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(3)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{1}\phi _{1}(0;q^{\nu +1};q,qx^{2}/4),\quad x\in \mathbb {C} .}$

Pueden reducirse a la función de Bessel por el límite continuo:

${\displaystyle \lim _{q\to 1}J_{\nu }^{(k)}(x(1-q);q)=J_{\nu }(x),\ k=1,2,3.}$

Existe una fórmula de conexión entre la primera y la segunda función Jackson q -Bessel ( Gasper & Rahman (2004) ):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }J_{\nu }^{(1)}(x;q),\ |x|<2.}$

Para orden de enteros, las funciones q -Bessel satisfacen

${\displaystyle J_{n}^{(k)}(-x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} ,\ k=1,2,3.}$

Propiedades

Orden de enteros negativos

Utilizando las relaciones ( Gasper y Rahman (2004) ):

${\displaystyle (q^{m+1};q)_{\infty }=(q^{m+n+1};q)_{\infty }(q^{m+1};q)_{n},}$

${\displaystyle (q;q)_{m+n}=(q;q)_{m}(q^{m+1};q)_{n},\ m,n\in \mathbb {Z} ,}$

obtenemos

${\displaystyle J_{-n}^{(k)}(x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.}$

Ceros

Hahn mencionó que tiene infinitos ceros reales ( Hahn  ( 1949 )). Ismail demostró que para todas las raíces distintas de cero son reales ( Ismail  ( 1982 )).${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)}$${\displaystyle \nu >-1}$${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)}$

Relación de funciones q -Bessel

La función es una función completamente monótona ( Ismail  ( 1982 )).${\displaystyle -ix^{-1/2}J_{\nu +1}^{(2)}(ix^{1/2};q)/J_{\nu }^{(2)}(ix^{1/2};q)}$

Relaciones de recurrencia

La primera y segunda función Jackson q -Bessel tienen las siguientes relaciones de recurrencia (ver Ismail (1982) y Gasper & Rahman (2004) ):

${\displaystyle q^{\nu }J_{\nu +1}^{(k)}(x;q)={\frac {2(1-q^{\nu })}{x}}J_{\nu }^{(k)}(x;q)-J_{\nu -1}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x{\sqrt {q}};q)=q^{\pm \nu /2}\left(J_{\nu }^{(1)}(x;q)\pm {\frac {x}{2}}J_{\nu \pm 1}^{(1)}(x;q)\right).}$

Desigualdades

Cuando , la segunda función Jackson q -Bessel satisface: (ver Zhang ( 2006 )).${\displaystyle \nu >-1}$${\displaystyle \left|J_{\nu }^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-{\sqrt {q}};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{\nu }\exp \left\{{\frac {\log \left(|z|^{2}q^{\nu }/4\right)}{2\log q}}\right\}.}$

Para , (ver Koelink ( 1993 ).)${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left|J_{n}^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-q^{n+1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{n}(-|z|^{2};q)_{\infty }.}$

Función generadora

Las siguientes fórmulas son el q -análogo de la función generadora de la función de Bessel (ver Gasper y Rahman (2004) ):

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }e_{q}(xt/2)e_{q}(-x/2t),}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(3)}(x;q)=e_{q}(xt/2)E_{q}(-qx/2t).}$

${\displaystyle e_{q}}$es la función q -exponencial .

Representaciones alternativas

Representaciones integrales

La segunda función Jackson q -Bessel tiene las siguientes representaciones integrales (ver Rahman (1987) e Ismail & Zhang (2018a) ):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{2\nu };q)_{\infty }}{2\pi (q^{\nu };q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\left(e^{2i\theta },e^{-2i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{-i\theta };q\right)_{\infty }}{(e^{2i\theta }q^{\nu },e^{-2i\theta }q^{\nu };q)_{\infty }}}\,d\theta ,}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};q)_{\infty }:=(a_{1};q)_{\infty }(a_{2};q)_{\infty }\cdots (a_{n};q)_{\infty },\ \Re \nu >0,}$

donde está el símbolo q -Pochhammer . Esta representación se reduce a la representación integral de la función de Bessel en el límite .${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\sqrt {2\pi \log q^{-1}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left({\frac {q^{\nu +1/2}z^{2}e^{ix}}{4}};q\right)_{\infty }\exp \left({\frac {x^{2}}{\log q^{2}}}\right)}{(q,-q^{\nu +1/2}e^{ix};q)_{\infty }}}\,dx.}$

Representaciones hipergeométricas

La segunda función Jackson q -Bessel tiene las siguientes representaciones hipergeométricas (ver Koelink ( 1993 ), Chen, Ismail y Muttalib ( 1994 )):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }}{(q;q)_{\infty }}}\ _{1}\phi _{1}(-x^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}),}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }({\sqrt {q}};q)_{\infty }}{2(q;q)_{\infty }}}[f(x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)+f(-x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)],\ f(x,a;q):=(iax;{\sqrt {q}})_{\infty }\ _{3}\phi _{2}\left({\begin{matrix}a,&-a,&0\\-{\sqrt {q}},&iax\end{matrix}};{\sqrt {q}},{\sqrt {q}}\right).}$

Se puede obtener una expansión asintótica como consecuencia inmediata de la segunda fórmula.

Para otras representaciones hipergeométricas, ver Rahman (1987) .

Funciones q -Bessel modificadas

El q -análogo de las funciones de Bessel modificadas se define con la función q -Bessel de Jackson ( Ismail (1981) y Olshanetsky & Rogov (1995) ):

${\displaystyle I_{\nu }^{(j)}(x;q)=e^{i\nu \pi /2}J_{\nu }^{(j)}(x;q),\ j=1,2.}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)={\frac {\pi }{2\sin(\pi \nu )}}\left\{I_{-\nu }^{(j)}(x;q)-I_{\nu }^{(j)}(x;q)\right\},\ j=1,2,\ \nu \in \mathbb {C} -\mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle K_{n}^{(j)}(x;q)=\lim _{\nu \to n}K_{\nu }^{(j)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} .}$

Existe una fórmula de conexión entre las funciones q-Bessel modificadas:

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }I_{\nu }^{(1)}(x;q).}$

Para aplicaciones estadísticas, ver Kemp (1997) . harvtxt error: no target: CITEREFKemp1997 (help)

Relaciones de recurrencia

Mediante la relación de recurrencia de las funciones q- Bessel de Jackson y la definición de funciones q- Bessel modificadas , se puede obtener la siguiente relación de recurrencia ( también satisface la misma relación) ( Ismail (1981) ):${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)}$

${\displaystyle q^{\nu }I_{\nu +1}^{(j)}(x;q)={\frac {2}{z}}(1-q^{\nu })I_{\nu }^{(j)}(x;q)+I_{\nu -1}^{(j)}(x;q),\ j=1,2.}$

Para otras relaciones de recurrencia, ver Olshanetsky y Rogov (1995) .

Representación de fracción continua

La razón de las funciones q -Bessel modificadas forman una fracción continua ( Ismail (1981) ):

${\displaystyle {\frac {I_{\nu }^{(2)}(z;q)}{I_{\nu -1}^{(2)}(z;q)}}={\cfrac {1}{2(1-q^{\nu })/z+{\cfrac {q^{\nu }}{2(1-q^{\nu +1})/z+{\cfrac {q^{\nu +1}}{2(1-q^{\nu +2})/z+\ddots }}}}}}.}$

Representaciones alternativas

Representaciones hipergeométricas

La función tiene la siguiente representación ( Ismail y Zhang (2018b) ):${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)}$

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{(q,q)_{\infty }}}{}_{1}\phi _{1}(z^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}).}$

Representaciones integrales

Las funciones q -Bessel modificadas tienen las siguientes representaciones integrales ( Ismail (1981) ):

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)=\left(z^{2}/4;q\right)_{\infty }\left({\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \nu \theta \,d\theta }{\left(e^{i\theta }z/2;q\right)_{\infty }\left(e^{-i\theta }z/2;q\right)_{\infty }}}-{\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t}z/2;q\right)_{\infty }}}\right),}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}},\ |\arg z|<\pi /2,}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh \nu \,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}}.}$

Ver también

• q -polinomios de Beessel

Referencias

• Chen, Yang; Ismail, Mourad EH; Muttalib, KA (1994), "Asintótica de funciones básicas de Bessel y q -polinomios de Laguerre", Journal of Computational and Applied Mathematics , 54 (3): 263-272, doi : 10.1016 / 0377-0427 (92) 00128-v
• Gasper, G .; Rahman, M. (2004), Serie hipergeométrica básica , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, MR  2128719
• Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten , 2 : 4-34, doi : 10.1002 / mana.19490020103 , ISSN  0025-584X , MR  0030647
• Ismail, Mourad EH (1981), "Las funciones y polinomios básicos de Bessel", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 12 (3): 454–468, doi : 10.1137 / 0512038
• Ismail, Mourad EH (1982), "Los ceros de las funciones básicas de Bessel, las funciones J _{ν + ax} ( x ) y los polinomios ortogonales asociados", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 86 (1): 1-19, doi : 10.1016 / 0022-247X (82) 90248-7 , ISSN  0022-247X , MR  0649849
• Ismail, MEH; Zhang, R. (2018a), "Representaciones integrales y en serie de q- polinomios y funciones: Parte I", Análisis y aplicaciones , 16 (2): 209-281, arXiv : 1604.08441 , doi : 10.1142 / S0219530517500129
• Ismail, MEH; Zhang, R. (2018b), " q -Bessel Functions and Rogers-Ramanujan Type Identities", Proceedings of the American Mathematical Society , 146 (9): 3633–3646, arXiv : 1508.06861 , doi : 10.1090 / proc / 13078
• Jackson, FH (1906a), "I. — Sobre las funciones generalizadas de Legendre y Bessel", Transactions of the Royal Society of Edinburgh , 41 (1): 1–28, doi : 10.1017 / S0080456800080017
• Jackson, FH (1906b), "VI. — Teoremas relacionados con una generalización de la función de Bessel" , Transactions of the Royal Society of Edinburgh , 41 (1): 105-118, doi : 10.1017 / S0080456800080078
• Jackson, FH (1906c), "XVII. — Teoremas relacionados con una generalización de la función de Bessel" , Transactions of the Royal Society of Edinburgh , 41 (2): 399–408, doi : 10.1017 / s0080456800034475 , JFM  36.0513.02
• Jackson, FH (1905a), "La aplicación de números básicos a las funciones de Bessel y Legendre" , Actas de la London Mathematical Society , 2, 2 (1): 192-220, doi : 10.1112 / plms / s2-2.1.192
• Jackson, FH (1905b), "The Application of Basic Numbers to Bessel's and Legendre's Functions (Second paper)" , Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 3 (1): 1–23, doi : 10.1112 / plms / s2- 3.1.1
• Koelink, HT (1993), "Relaciones de ortogonalidad de Hansen-Lommel para las funciones q- Bessel de Jackson ", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 175 (2): 425-437, doi : 10.1006 / jmaa.1993.1181
• Olshanetsky, MA; Rogov, VB (1995), "Las funciones q -Bessel modificadas y las funciones q -Bessel-Macdonald", arXiv : q-alg / 9509013
• Rahman, M. (1987), "Una representación integral y algunas propiedades de transformación de las funciones q -Bessel", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 125 : 58-71, doi : 10.1016 / 0022-247x (87) 90164-8
• Zhang, R. (2006), "Plancherel-Rotach Asymptotics for q -Series", arXiv : math / 0612216