Espejo de jade de las cuatro incógnitas

Ilustraciones en Espejo de jade de las cuatro incógnitas

Triángulo de Jia Xian

Espejo de jade de las cuatro incógnitas , ^[1] Siyuan yujian (四 元 玉 鉴), también conocido como Espejo de jade de los cuatro orígenes , ^[2] es una monografía matemática de 1303 del matemático de la dinastía Yuan Zhu Shijie . ^[3] Zhu avanzó el álgebra china con esta obra Magnum .

El libro consta de una introducción y tres libros, con un total de 288 problemas. Los primeros cuatro problemas de la introducción ilustran su método de las cuatro incógnitas. Mostró cómo convertir un problema planteado verbalmente en un sistema de ecuaciones polinomiales (hasta el orden 14), utilizando hasta cuatro incógnitas: 天 Cielo, 地 Tierra, 人 Hombre, 物 Materia, y luego cómo reducir el sistema a una sola ecuación polinomial en una incógnita por eliminación sucesiva de incógnitas. Luego resolvió la ecuación de alto orden del matemático de la dinastía Song del Sur Qin Jiushao , el método "Ling long kai fang" publicado en Shùshū Jiǔzhāng (" Tratado matemático en nueve secciones ") en 1247 (más de 570 años antes que el matemático inglés William Hornermétodo de división sintética). Para hacer esto, hace uso del triángulo de Pascal , que etiqueta como el diagrama de un método antiguo descubierto por primera vez por Jia Xian antes de 1050.

Zhu también resolvió problemas de raíces cuadradas y cúbicas resolviendo ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y contribuyó a la comprensión de series y progresiones, clasificándolas de acuerdo con los coeficientes del triángulo de Pascal. También mostró cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales reduciendo la matriz de sus coeficientes a forma diagonal . Sus métodos son anteriores a Blaise Pascal , William Horner y los métodos matriciales modernos por muchos siglos. El prefacio del libro describe cómo Zhu viajó por China durante 20 años como profesor de matemáticas.

Jade Mirror of the Four Unknowns consta de cuatro libros, con 24 clases y 288 problemas, en los que 232 problemas tratan de Tian yuan shu , 36 problemas tratan de variable de dos variables, 13 problemas de tres variables y 7 problemas de cuatro variables.

Introducción

El cuadrado de la suma de las cuatro cantidades de un triángulo en ángulo recto

Las cuatro cantidades son x , y , z , w se pueden presentar con el siguiente diagrama

X

y太w

z

El cuadrado de los cuales es:

a: "go" base b "gu" vertical c "Xian" hipoteno

Los nebulos unitarios

Esta sección trata sobre Tian yuan shu o problemas de un desconocido.

Pregunta: Dado que el producto de huangfan y zhi ji es igual a 24 pasos, y la suma de la vertical y la hipotenusa es igual a 9 pasos, ¿cuál es el valor de la base?

Respuesta: 3 pasos

Configure tian unitario como base (es decir, deje que la base sea la cantidad desconocida x )

Dado que el producto de huangfang y zhi ji = 24

en el cual

huangfan se define como: ^[4]${\displaystyle (a+b-c)}$

zhi ji :${\displaystyle ab}$

por lo tanto ${\displaystyle (a+b-c)ab=24}$

Además, la suma de la vertical y el hipoteno es

${\displaystyle b+c=9}$

Configure el tian unitario desconocido como la vertical

${\displaystyle x=a}$

Obtenemos la siguiente ecuación

（）${\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}$

太

Resuélvelo y obtén x = 3

El misterio de dos naturalezas

太 Unitario

ecuación :;${\displaystyle -2y^{2}-xy^{2}+2xy+2x^{2}y+x^{3}=0}$

de lo dado

太

ecuación :;${\displaystyle 2y^{2}-xy^{2}+2xy+x^{3}=0}$

obtenemos:

太

${\displaystyle 8x+4x^{2}=0}$

y

太

${\displaystyle 2x^{2}+x^{3}=0}$

por método de eliminación, obtenemos una ecuación cuadrática

${\displaystyle x^{2}-2x-8=0}$

solución: .${\displaystyle x=4}$

La evolución de tres talentos

Plantilla para la solución del problema de tres incógnitas

Zhu Shijie explicó el método de eliminación en detalle. Su ejemplo se ha citado con frecuencia en la literatura científica. ^{[5] [6] [7]}

Configure tres ecuaciones de la siguiente manera

太

${\displaystyle -y-z-y^{2}x-x+xyz=0}$ .... I

${\displaystyle -y-z+x-x^{2}+xz=0}$..... II

太

${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$.... III

Eliminación de desconocidos entre II y III

por manipulación de intercambio de variables

Obtenemos

太

${\displaystyle -x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y}$ ... IV

y

太

${\displaystyle -2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}}$.... V

Eliminación de incógnitas entre IV y V obtenemos una ecuación de tercer orden

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

Resuelva esta ecuación de tercer orden para obtener  ;${\displaystyle x=5}$

Cambiar de nuevo las variables

Obtenemos el hipoteno = 5 pasos

Simultáneo de los cuatro elementos

Esta sección trata sobre ecuaciones simultáneas de cuatro incógnitas.

Ecuaciones de cuatro elementos

${\displaystyle {\begin{cases}-2y+x+z=0\\-y^{2}x+4y+2x-x^{2}+4z+xz=0\\x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\\2y-w+2x=0\end{cases}}}$

Eliminación sucesiva de incógnitas para obtener

${\displaystyle 4x^{2}-7x-686=0}$

Resuelve esto y obtén 14 pasos

Libro I

Problemas de rectángulos y triángulos de ángulo recto

Hay 18 problemas en esta sección.

Problema 18

Obtenga una ecuación polinomial de décimo orden:

${\displaystyle 16x^{10}-64x^{9}+160x^{8}-384x^{7}+512x^{6}-544x^{5}+456x^{4}+126x^{3}+3x^{2}-4x-177162=0}$

La raíz de la cual es x = 3, multiplica por 4, obteniendo 12. Esa es la respuesta final.

Problemas de figuras planas

Hay 18 problemas en esta sección.

Problemas de piezas de bienes

Hay 9 problemas en esta sección

Problemas en el almacenamiento de granos

Hay 6 problemas en esta sección

Problemas en el trabajo de parto

Hay 7 problemas en esta sección

Problemas de ecuaciones para raíces fraccionales

Hay 13 problemas en esta sección.

Libro II

Problemas mixtos

Contención de círculos y cuadrados

Problemas en áreas

Topografía con triángulos en ángulo recto

Hay ocho problemas en esta sección.

Problema 1

Pregunta: Hay una ciudad rectangular de dimensión desconocida que tiene una puerta a cada lado. Hay una pagoda ubicada a 240 pasos de la puerta sur. Un hombre que camina 180 pasos desde la puerta oeste puede ver la pagoda, luego camina hacia la esquina sureste por 240 pasos y llega a la pagoda; ¿Cuál es la longitud y el ancho de la ciudad rectangular? Respuesta: 120 pasos de largo y ancho un li

Sea tian yuan unitario como la mitad de la longitud, obtenemos una ecuación de cuarto orden

${\displaystyle x^{4}+480x^{3}-270000x^{2}[phone]x+1866240000=0}$^[8]

resuélvalo y obtenga x = 240 pasos, por lo tanto, longitud = 2x = 480 pasos = 1 li y 120 espacios.

Similitud, sea tian yuan unitario (x) igual a la mitad del ancho

obtenemos la ecuación:

${\displaystyle x^{4}+360x^{3}-270000x^{2}[phone]x+1866240000=0}$^[9]

Resuélvalo para obtener x = 180 pasos, longitud = 360 pasos = un li.

Problema 7

Idéntico a la profundidad de un barranco (usando barras transversales en adelante) en Haidao Suanjing .

Problema 8

Idéntico a la profundidad de una piscina transparente en Haidao Suanjing .

Pilas de heno

Paquetes de flechas

Medición de tierras

Invocar a los hombres según las necesidades

El problema n. ° 5 es la fórmula de interpolación de cuarto orden más antigua del mundo.

hombres convocados: ^[10]${\displaystyle na+{\tfrac {1}{2!}}n(n-1)b+{\tfrac {1}{3!}}n(n-1)(n-2)c+{\tfrac {1}{4!}}n(n-1)(n-2)(n-3)d}$

En el cual

• a = diferencia de primer orden
• b = diferencia de segundo orden
• c = diferencia de tercer orden
• d = diferencia de cuarto orden

Libro III

Pila de frutas

Esta sección contiene 20 problemas relacionados con pilotes triangulares, pilotes rectangulares

Problema 1

Encuentra la suma de la pila triangular

${\displaystyle 1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)}$

y el valor de la pila de frutas es:

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+\cdots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}}$

Zhu Shijie usa Tian yuan shu para resolver este problema dejando x = n

y obtuvo el formulario

${\displaystyle v={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}(3x+5)x(x+1)(x+2)}$

De una condición dada , por lo tanto${\displaystyle v=1320}$

${\displaystyle 3x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0}$^[11]

Resuélvelo para obtener .${\displaystyle x=n=9}$

Por lo tanto,

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320}$。

Figuras dentro de la figura

Ecuaciones simultáneas

Ecuación de dos incógnitas

Izquierda y derecha

Ecuación de tres incógnitas

Ecuación de cuatro incógnitas

Seis problemas de cuatro incógnitas.

Pregunta 2

Obtenga un conjunto de ecuaciones en cuatro incógnitas:. ^[12]

${\displaystyle {\begin{cases}-3y^{2}+8y-8x+8z=0\\4y^{2}-8xy+3x^{2}-8yz+6xz+3z^{2}=0\\y^{2}+x^{2}-z^{2}=0\\2y+4x+2z-w=0\end{cases}}}$

Referencias

1. Este título fue sugerido por Joseph Dauben
2. Hart, Roger (2013). Civilizaciones imaginadas China, Occidente y su primer encuentro . Baltimore, MD: Universidad Johns Hopkins Pr. pag. 82. ISBN 978-1421406060.
3. Elman, Benjamin A. (2005). Según sus propios términos, la ciencia en China, 1550-1900 . Cambridge, Mass .: Harvard University Press. pag. 252. ISBN 0674036476.
4. Zhu Sijie Siyuan yujian Science Press p148 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 
5. Mecanización de las matemáticas de Wu Wenjun (吴文俊 数学 机械化 《朱世杰 的 一个 例子》) pp 18-19 Science Press ISBN 7-03-010764-0 
6. Zhu Shijie Siyuan yujian , anotado por Li Zhaohua (朱世杰 原著 李兆华 校正 《四 元 玉 鉴》) p149-153 Science Press 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 
7. J. Hoe Les Systemes d'Equation Polynomes dans le siyuanyujian [1303], Instude Haute Etudes Chinoise, París 1977
8. 万 有 文库 第二集 朱世杰 撰 罗士琳 草 （中） 卷 下 之 五 四 一 0- 四 一一。
9. 万 有 文库 第二集 朱世杰 撰 罗士琳 草 （中） 卷 下 之 五 四 一 一页。
10. 孔国平 440-441。
11. Zhu Shijie Siyuan yujian, con los procedimientos de Luo Shilin. (万 有 文库 第二集 朱世杰 撰 罗士琳 草 （中） 卷 下 之一 六四 六 - 六四 八)
12. Zhu Shijie, Siyuan yujian, anotado por Li Zhaohua, Science Press pp246-249 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 

Fuentes

• Espejo de jade de las cuatro incógnitas, tr. al inglés por el profesor Chen Zhaixin, ex director del departamento de matemáticas de la Universidad de Yenching (en 1925), traducido al chino moderno por Guo Shuchun, Volumen I y II, Biblioteca de clásicos chinos, chino-inglés, Liaoning Education Press 2006 ISBN 7-5382 -6923-1 https://www.scribd.com/document/357204551/Siyuan-yujian-2 , https://www.scribd.com/document/357204728/Siyuan-yujian-1 
• Obras completas en la historia de las ciencias de Li Yan y Qian Baocong, volumen 1 《李 俨 钱 宝 琮 科学 史 全集》 第一卷 钱 宝 琮 《中国 算 学 史 上 编》
• Zhu Shijie Siyuan yujian Libro 1-4, anotado por el matemático de Qin Dyasty Luo Shilin, Prensa comercial
• J. Hoe, Les systèmes d'équations polynômes dans le Siyuan yujian (1303), Institut des Hautes Études Chinoises, París, 1977
• J. Hoe, Un estudio del manual del siglo XIV sobre ecuaciones polinomiales "El espejo de jade de las cuatro incógnitas" por Zhu Shijie, Mingming Bookroom, PO Box 29-316, Christchurch, Nueva Zelanda, 2007