Nacida en Londres, hija de un empleado del Transporte de Londres, Coster estudió en la Guildhall School of Music y en privado con Eva Turner . En la década de 1960 asumió varios papeles en Covent Garden, incluido el de niño en la producción de 1966 de Boris Godunov de Modest Mussorgsky con Boris Christoff en el papel principal.
En 1969 Coster se unió a la lista de artistas principales en la Ópera de Colonia, haciendo su debut allí como Vitellia en una nueva producción de Mozart ‘s La clemenza di Tito . En ese momento, esta ópera de Mozart en particular rara vez se representaba y la producción, dirigida por Jean Pierre Ponnelle , recibió grandes elogios de la crítica musical a nivel internacional.
Durante la siguiente década cantó una gran cantidad de papeles en este teatro y en otras casas alemanas. Al regresar a Gran Bretaña fue Amneris in Aida para la English National Opera y realizó una considerable cantidad de retransmisiones para la BBC .
Coster ha participado en varias grabaciones importantes, incluida Léonard en Les Huguenots de Meyerbeer con un elenco que incluye a Dame Joan Sutherland , Dame Kiri te Kanawa y Martina Arroyo y Adriana Lecouvreur de Cilea con Montserrat Caballé .