John Penn Mayberry (18 de noviembre de 1939-19 de agosto de 2016) fue un filósofo matemático estadounidense y creador de una filosofía aristotélica distintiva de las matemáticas a la que expresó en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets . [1] Después de completar un doctorado. En Illinois, bajo la supervisión de Gaisi Takeuti , ocupó, en 1966, un puesto en el departamento de matemáticas de la Universidad de Bristol . Allí permaneció hasta su jubilación en 2004 como Lector de Matemáticas.
Obra filosófica
Por un lado, la filosofía de Mayberry rechaza la tradición platónica , que sostiene que las matemáticas son una ciencia trascendental preocupada por descubrir verdades sobre entidades objetivas inmateriales, pero inteligibles, como engreídas metafísicamente. Esta postura lo distingue de lo que probablemente sea el punto de vista de la "mayoría silenciosa" entre los matemáticos practicantes. Roger Penrose expresa elocuentemente una posición platónica típica.
- “Los números naturales estaban allí antes de que existieran los seres humanos o de hecho cualquier otra criatura aquí en la tierra, y permanecerán después de que toda la vida haya perecido. Siempre ha sido el caso de que cada número natural es la suma de cuatro cuadrados y no tuvo que esperar a que Lagrange conjurara este hecho en existencia ". [2]
Por otro lado, Mayberry también rechaza con vehemencia cualquier comprensión de las matemáticas contaminada, como él diría, por el operacionalismo. El escribe:
- “Considero que el operacionalismo en matemáticas es la doctrina de que los fundamentos de las matemáticas deben descubrirse en las actividades (reales o idealizadas) de los matemáticos cuando cuentan, calculan, escriben pruebas, inventan símbolos, dibujan diagramas, etc. …… Las consideraciones de las actividades y capacidades humanas, reales o idealizadas, no tienen cabida en los fundamentos de las matemáticas, y debemos hacer todo lo posible para excluirlas de los elementos, principios y métodos en los que pretendemos basar nuestras matemáticas ”. [3]
La más arquetípica y más universalmente promulgada de tales doctrinas operacionalistas es que los números naturales se pueden construir comenzando con 1, sumando 1 para obtener 2, agregando 1 nuevamente para obtener 3 y continuando indefinidamente. Esto se expresa mediante la notación N = 1, 2, 3 ……. donde los puntos denotan la repetición indefinida de “sumar 1”. Al aceptar estos puntos de elipsis, se acepta la inteligibilidad de la iteración indefinida. Mayberry no cree que una definición de este tipo sea lo suficientemente clara y lo suficientemente desvinculada de intuiciones ingenuas y posiblemente equivocadas sobre la naturaleza del tiempo como para justificar su inclusión en las matemáticas sin más justificación. El escribe:
- “Cuando se toma el sistema de números naturales como el dato primario, algo simplemente" dado ", es natural ver los principios de prueba por inducción matemática y la definición por recursividad a lo largo de ese sistema como" dado "también. … .. Los números naturales se ven así como lo que llegamos en el proceso de contar: 1,2… .. donde los puntos de elipsis “… ..” se ven de alguna manera como autoexplicativos - después de todo, sabemos cómo continuar el conteo, no importa lo lejos que lo hayamos llevado. ¡Pero estos puntos de elipsis contienen todo el misterio de la noción de número natural! .... Tampoco las operaciones de contar o calcular deben tomarse como datos primarios: deben analizarse en términos de nociones más fundamentales. Así, nos vemos llevados a rechazar el operacionalismo que comparten todas las escuelas anticantorianas.
- Para nosotros, los modernos, los números toman su ser de lo que podemos hacer con ellos, es decir, contar y calcular: pero los “números” griegos (arithmoi) eran objetos por derecho propio con naturalezas simples e inteligibles. Nuestros números naturales son cosas que podemos (en principio) construir (contándolos): los números griegos simplemente estaban "allí", por así decirlo. .......
- Estoy convencido de que esta concepción operacionalista del número natural es la falacia central que subyace a todo nuestro pensamiento sobre los fundamentos de las matemáticas. No se limita a los herejes, sino que es compartido por la mayoría cantoriana ortodoxa ". [4]
Su postura lo pone en desacuerdo no solo con la práctica pedagógica de los últimos siglos, sino también con una tradición que se remonta a la antigüedad. En la Definición 4 del Libro V de sus Elementos , Euclides define dos magnitudes del mismo tipo, A y B, para "tener una relación entre sí" de la siguiente manera:
- "Se dice que las magnitudes tienen una relación entre sí que, cuando se multiplican, es capaz de superarse entre sí" [5]
En otras palabras, si la adición repetida de uno de ellos, digamos A, a sí mismo da como resultado una magnitud que excede al otro, digamos B, es decir, para algún número natural n, nA> B. A la inversa, A y B no tienen un relación entre sí si la adición indefinidamente repetida de uno de ellos a sí mismo nunca produce una magnitud superior al otro. En el Libro V, Euclides desarrolla una teoría general de razones y en el Libro VI demuestra el poder del concepto de razón tanto para simplificar en gran medida las derivaciones dadas en los Libros I - IV como para ampliar el alcance de algunos de los teoremas de los Libros I - IV. Ejemplos particularmente notables son el Libro III Prop. 35, donde una demostración mucho más simple usando triángulos similares está inmediatamente disponible, y el Libro VI Prop. 31 donde extiende el teorema de Pitágoras de cuadrados a figuras similares generales.
En el Libro VII Euclides introduce, como otro tipo de magnitud junto a sus geométricas de línea, ángulo y figura, el concepto de “aritmos”. Esto debe entenderse como "una multitud de unidades", donde una unidad es "aquello por lo que llamamos a algo uno". Con algunas reservas sobre el estado de los singletons y el conjunto vacío, la noción griega de "aritmos" es, por tanto, esencialmente la noción moderna de "conjunto". Mayberry nota que le sorprendió con la fuerza de una revelación que el significado de la Noción Común 5 de Euclides, - "el todo es mayor que la parte" - cuando se aplica a arithmoi es que un arithmos no puede ser congruente, donde esta palabra se entiende siguiendo Heath como "se puede colocar con un ajuste exacto", [6] a cualquier parte propia de sí mismo, o, en otras palabras, que un conjunto es finito en el sentido moderno de que no hay correspondencia 1-1 entre el conjunto y un subconjunto adecuado de sí mismo. El hecho de que la aritmética griega, y en particular los libros de Euclides VII-IX, sea realmente el estudio de conjuntos finitos, ha sido oscurecido por la traducción ubicua de "aritmos" como "número" y la transformación en la noción de número de su "aritmos original". ”Que significa" proporción "que ocurrió en el siglo XVII. Newton dio una clara expresión a la transformación del significado en sus Conferencias.
- “Por número me refiero no tanto a una multitud de unidades como a la relación abstraída de cualquier cantidad a otra cantidad del mismo tipo que tomamos por unidad” [7]
Las convicciones de Mayberry en cuanto a la verdadera secuencia histórica de eventos en el desarrollo de conceptos matemáticos clave son fundamentales para su orientación filosófica. Fue llevado a estos por su lectura del "Pensamiento matemático griego y el origen del álgebra" de Jacob Klein . [8] y las memorias de Richard Dedekind "Was sind und was sollen die Zahlen". [9]
Desde mediados del siglo XVII al XIX, los números naturales y la noción de iteración ilimitada en la que se basan adquirieron un estatus fundamental en matemáticas, tanto pragmática como filosóficamente. En el lado filosófico, Kant clasificó las proposiciones aritméticas como conocimiento sintético a priori y, en paralelo con un análisis similar de teoremas geométricos que rastreó hasta nuestra intuición del espacio, rastreó su naturaleza convincente hasta nuestra intuición del tiempo. La posición general de Kant con respecto a la aritmética recibió el respaldo de los más grandes matemáticos practicantes del siglo XIX. Incluso Gauss, aunque en desacuerdo con la posición de Kant sobre el estatus de la geometría, apoyó su posición sobre la aritmética.
- “Estoy llegando cada vez más a la convicción de que la necesidad de nuestra geometría no puede ser probada, al menos no por la comprensión humana para la comprensión humana. Quizás en otra vida lleguemos a otros puntos de vista sobre la naturaleza del espacio que actualmente están disponibles para nosotros. Hasta entonces, no se debe poner la Geometría en el mismo rango que la Aritmética, que está a priori, sino en el mismo rango que, digamos, la Mecánica ”. [10]
Casi un siglo después, Poincaré escribe:
- “En este dominio de la Aritmética podemos pensar que estamos muy lejos del análisis infinitesimal, pero la idea del infinito matemático ya juega un papel preponderante, y sin él no habría ciencia en absoluto, porque no habría nada general. …… Por tanto, no podemos escapar a la conclusión de que la regla del razonamiento por repetición es irreductible al principio de contradicción r. … Esta regla, inaccesible a la prueba analítica y a la experimentación, es el tipo exacto de la intuición sintética a priori ”. [11]
De las figuras significativas del siglo XIX, solo Dedekind parece haberse opuesto al consenso kantiano. En Was sind und was sollen die Zahlen, escribe con frialdad:
- “Al hablar de aritmética (álgebra, análisis) como parte de la lógica, quiero dar a entender que considero el concepto de número completamente independiente de las nociones o intuiciones de espacio y tiempo”. [12]
Dedekind , a quien Mayberry admiraba mucho, demostró que los números naturales podían establecerse sin depender de una intuición kantiana del tiempo o depender de operaciones repetidas indefinidamente. Sin embargo, lo hizo sobre la base de una aceptación explícita del Axioma del infinito de Cantor, que, como señala Mayberry, se entiende mejor como una simple contradicción de la Noción común 5 de Euclides aplicada al aritmoi. Sin embargo, el trabajo de Dedekind no hizo que la opinión de que los números naturales y los procesos iterativos tienen un estado fundamental especial perdiera crédito entre la mayoría de los matemáticos. El movimiento intuicionista , mientras compartía con Mayberry un rechazo a la comprensión platónica del significado de las matemáticas, recurrió a una comprensión operacionalista del tema, impulsando la aceptación de procesos iterativos indefinidamente prolongados hasta el corazón mismo de su pensamiento. El movimiento formalista, siguiendo el programa de Hilbert de salvar los frutos matemáticos del axioma del infinito de Cantor a través de pruebas de consistencia finitaria, asimismo, en las propias definiciones de los sistemas formales y el establecimiento de sus propiedades, otorgó un estatus especial a la iteración indefinida y a las definiciones asociadas por recursividad. y pruebas por inducción.
La posición de Mayberry es que todo esto, directamente del Libro V de Euclides, constituye una aberración del verdadero espíritu de las matemáticas como se ejemplifica en los Libros de Euclides I-IV. El propósito central de su libro es explicar su posición y mostrar que no es corrosivo del contenido esencial o la práctica moderna de las matemáticas, sino, en su recomendación de una comprensión aristotélica más clara de lo que son las matemáticas y el estándar de rigor. apropiado para su comprensión más exigente del significado, está siguiendo una tradición iniciada por Cantor de restaurar el significado a las matemáticas después de tres siglos de formalismo. Sin embargo, a los ojos de Mayberry, una doctrina moderna inspirada platónicamente que sostiene que, por ejemplo, las clases adecuadas existen objetivamente, se aparta tanto del sentido común y de la veracidad probable como, por ejemplo, la doctrina de inspiración formalista de principios del siglo XIX, el " Principio de equivalencia de Formas permanentes ”. [13]
Las opiniones filosóficas positivas de Mayberry se derivan de su decidida adhesión a un pequeño número de doctrinas filosóficas inspiradas en parte por Aristóteles y en parte por la reflexión sobre los casi dos milenios y medio de experiencia matemática, en particular la del siglo XIX.
Es un realista aristotélico que está básicamente de acuerdo con la opinión de Aristóteles de que las matemáticas, y en particular el estudio del arithmoi, es una ciencia natural que ocupa su lugar junto a otras materias científicas de interés especial, como la entomología o la ornitología, y se ocupa de las cosas de este mundo que existen objetivamente. Aristóteles escribe:
- “Las afirmaciones universales en matemáticas no se refieren a entidades separables que están más allá y aparte de magnitudes y aritmoi. Se tratan de estas mismas cosas, sólo que no en tanto que cosas que tengan magnitud o sean divisibles ".
(Lo que Aristóteles quiere decir es que en geometría uno trata los tamaños específicos de los objetos concretos como accidentales e irrelevantes para el geómetro, y en aritmética, uno ignora de manera similar el hecho de que las unidades concretas - hombres, guijarros, etc. - pueden, de hecho, ser divisibles .)
y en otros lugares:
- «Cada ciencia se ocupa de su propio dominio, de modo que la ciencia de lo sano es la que estudia algo en cuanto sano y la ciencia del hombre es la que estudia algo en cuanto hombre. Y lo mismo ocurre con la geometría. Las ciencias de las matemáticas no van a tomar entidades perceptibles como su dominio solo porque las cosas sobre las que tratan tienen la característica accidental de ser perceptibles (aunque, por supuesto, no se estudian en cuanto perceptibles). Pero, por otro lado, tampoco tomarán como dominio algunas otras entidades separables de las perceptibles ". [14]
La ciencia de la que se ocupa Mayberry es la aritmética, entendida tanto en una versión purificada del sentido que Euclides da a la palabra en los libros VII-IX, como también, como él afirma, en el sentido que Cantor ha dado a la palabra. La primera de las posiciones centrales de Mayberry es el acuerdo con Aristóteles de que el aritmético estudia las cosas y ciertas pluralidades de cosas como unidades y aritmoi de una manera esencialmente análoga al estudio del entomólogo de las cosas y ciertas pluralidades de cosas como insectos y colonias de insectos. Acepta la definición lapidaria de Euclides de "unidad", objetando sólo la traducción de Heath de "εκαστον των οντων" como "cada una de las cosas que existen" como filosóficamente sobrecargado. Con respecto a la definición de "aritmos", Mayberry prefijaría crucialmente la palabra "multitud ”En la definición de Euclides -“ Un aritmos es una multitud compuesta de unidades ”- con la palabra“ definida ”. Con esto quiere decir que los arithmoi tienen límites o límites definidos objetivamente existentes, no en el sentido de que los arithmoi estén restringidos en tamaño o sean susceptibles de cualquier procedimiento operativo, como contar, o comprendan exactamente aquellas cosas para las que se cumple alguna condición formulada lingüísticamente, pero sólo en el sentido de que es cierto para cualquier cosa individual que esté o no en el aritmos. En particular, la conformidad con la Noción Común 5 (todo mayor que la parte) no está implícita en el concepto mismo de “aritmos”, sino simplemente en un juicio de que todos los aritmos poseen, por casualidad, esta propiedad. Para las pluralidades definidas por conformidad con alguna condición o correspondencia con algún sustantivo común, por ejemplo, "arithmoi con más de tres unidades" o "caballos", Mayberry usa la palabra aristotélica "especie". Una especie existe simplemente porque podemos concebirla: no es una cosa objetiva en el mundo, sino un pensamiento en nuestra cabeza, mientras que las cosas que caen en una especie pueden coincidir o no con un aritmos. Observaciones similares se aplican a otras concepciones como "propiedad", por ejemplo, la de ser y ordinal o "función global", por ejemplo, los operadores Power Set y Union. Mayberry escribe:
- “La diferencia esencial entre conjuntos y especies es que los conjuntos existen, mientras que las especies no. Con esto quiero decir que las especies no son objetos: son ficciones u objetos virtuales ”.
- "Pero es esencial recordar que en el análisis final - y todos hablan de funciones globales de los diversos tipos a pesar de lo contrario - no existen cosas tales como funciones globales : y cuando hablamos de tales funciones, en última instancia, estamos hablando de nuestras propias convenciones de notación para referirse a conjuntos ". [15]
La segunda de las doctrinas filosóficas centrales de Mayberry es que las cosas y el aritmoi de las cosas existen objetivamente y son parte del tejido de la realidad externa. Las credenciales ontológicas de un aritmos son exactamente las de sus unidades constituyentes. Sin embargo, no es tarea del matemático investigar o especular si las cosas que caen dentro de una especie, como las nubes en el cielo, las sombras de rojo, los estados emocionales humanos, los hombres del siglo XXII, están lo suficientemente claramente individualizados como para constituir unidades de posibles arithmoi o si los límites de la pluralidad de cosas, por ejemplo, ¿deberíamos considerar a los centauros y las sirenas como pertenecientes a la especie "especie humana"? ¿Se determina exactamente cuándo comienzan los tonos de rojo y los tonos de púrpura? - están delineados con suficiente claridad como para constituir un aritmos. El trabajo del aritmético puede comenzar con la simple suposición de que hay cosas objetivas claramente individualizadas que puede tomar como unidades y pluralidades definidas de tales cosas que puede tomar como arithmoi. Mayberry escribe:
- “En la concepción de Aristóteles del número matemático, tenemos el mejor vehículo hasta ahora ideado para explicar los hechos de la aritmética teórica. En el razonamiento aritmético, el matemático considera las cosas de la manera más abstracta y general concebible, es decir, sólo en la medida en que están sujetas a las leyes de la identidad y la diferencia. Simplemente da por sentado que hay cosas sujetas a tales leyes ". [dieciséis]
y, un poco más tarde:
- “Número en el sentido original, sin embargo - arithmoi - pluralidades compuestas de unidades - estas cosas no son como" números naturales ", meras fabricaciones de la mente, sino por el contrario, son auténticos habitantes del mundo, independientes de los seres humanos y sus actividad mental; son cosas que estamos obligados a reconocer si queremos que nuestra experiencia matemática tenga algún sentido ". [17]
La tercera de las doctrinas filosóficas centrales de Mayberry es que las definiciones hechas, las propiedades definidas y los argumentos construidos usando los cuantifica "Para todos" y "Existen" son sólo inteligibles, como declaraciones de hechos objetivos, si el alcance de cada cuantificador se restringe a un aritmos definidos. Entonces, por ejemplo, si estamos tratando con niñas, en cuanto unidades, y sabemos cómo comparar a dos niñas con respecto a la propiedad "inteligente", podemos decir con sensatez "Joan es la chica más inteligente de su clase", pero no "Joan es la tout court, la chica más inteligente, ya que esta última afirmación pretende cuantificar todas las cosas que caen en la especie "chica". Esta postura le da una razón adicional para rechazar las pretensiones fundamentales de los dos sistemas axiomáticos clásicos de primer orden de la Aritmética de Peano y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. No solo objeta el operacionalismo inherente a la construcción misma de tales sistemas formales, sino que ahora también rechaza la inteligibilidad del uso libre de cuantificadores irrestrictos en la formación de predicados en los esquemas axiomáticos de Inducción y Reemplazo.
La cuarta doctrina central de Mayberry está relacionada con la tercera. Afirma que al tratar con unidades y aritmoi, es decir, con cosas, podemos usar la lógica clásica sin problemas, mientras que al tratar con pensamientos, como especies, funciones globales, propiedades de construcciones generales, etc., la lógica apropiada es intuicionista. En particular, si sabemos que el supuesto "Todos los miembros del aritmos a poseen la propiedad P" implica un absurdo, entonces podemos inferir legítimamente que "existe algún miembro de a, x, para el cual P (x) no se cumple". Sin embargo, si hacemos una declaración usando un cuantificador sobre una especie, por ejemplo, "existe algo que posee P" o "P se aplica a todas las cosas", ya no informamos un hecho objetivo que debe ser el caso o no. Debe entenderse que quien afirma una afirmación de este tipo afirma que tiene en mente una justificación de la misma, es decir, en el caso de un cuantificador universal, motivos para creer que, dado cualquier cosa concebible, P tiene de él, o en el caso de un cuantificador existencial, conoce una instancia de la especie para la que P es válido. Dado que las declaraciones que incorporan cuantificadores no restringidos deben entenderse subjetivamente, está claro que el principio del Medio Excluido simplemente no es válido. Por ejemplo, si el significado de "Para todas las cosas que P sostiene" es "Tengo en mente una construcción general para producir para cada cosa un argumento que P sostiene de esa cosa" y el significado de "existe una cosa para la cual P no mantener "es" Tengo en mente una construcción para producir una cosa para la que P no puede mantener ". entonces no puedo afirmar necesariamente que la disyunción sea verdadera ya que, por ejemplo, no puedo tener ninguna construcción en mente. Sobre este tema, Mayberry escribe:
- “¿Cuáles son los principios lógicos que deberían regir la cuantificación global? Ésta es una pregunta difícil y no estoy seguro de poder responderla en su totalidad. Pero propongo adoptar una respuesta parcial, a saber, el principio de Brouwer:
- (i) La lógica convencional (es decir, lo que Brouwer llama "clásica") es la lógica de los dominios finitos. En particular, las leyes matemáticas de cuantificación se aplican solo cuando los dominios de cuantificación son finitos. ["Finito" aquí se usa en el sentido de Mayberry de "definido" o "delimitado", la característica definitoria de arithmoi.]
- (ii) A las proposiciones que requieren cuantificación global para su expresión no se les pueden asignar valores de verdad convencionales, verdaderos o falsos. Solo pueden clasificarse como justificados o injustificados.
- .....
- Entonces, de acuerdo con el principio de Brouwer, la afirmación "Para todos los objetos x en S (x)" no es una proposición convencional ("clásica") con un valor de verdad determinado. No es verdadero o falso, sino justificado o injustificado.
- Decir que tal proposición está justificada es decir que tenemos bases para afirmar que cualquier proposición de la forma (t) es verdadera donde t es cualquier expresión que denota o podría denotar un objeto. Decir que una afirmación es injustificada, por otro lado, es simplemente decir que no tenemos tales fundamentos; y eso no es lo mismo que decir que tenemos motivos para negarlo ”. [18]
La quinta doctrina central de Mayberry es que, ampliamente en analogía con los postulados de Euclides para la geometría, se pueden establecer postulados para la aritmética, haciendo un buen defecto en los elementos que, contrariamente a las expectativas creadas por la estructura Common Notions and Postlates for Geometry, no no contienen tales postulados. Mayberry lleva a cabo este programa en el capítulo 4 de su libro. Sus postulados siguen, hasta cierto punto Euclides en la forma, pero las ideas axiomáticas sobre los conjuntos que emanan del siglo XIX y principios del XX, en el contenido. En general, análogos a los postulados de Euclides sobre la construcción de un círculo dado un punto y una línea o la construcción de una línea recta única dados dos puntos son los postulados relacionados con Unión, Conjunto de poder y producto cartesiano que postulan construcciones globales que producen nuevos aritmoi a partir de uno. o más dados. Sin embargo, algo diferentes son sus postulados sobre Reemplazo y Comprensión. Estos no establecen construcciones individuales que simplemente deben ser captadas, sino que hacen afirmaciones sobre todas las construcciones posibles y todas las propiedades concebibles. En cierto sentido, puede entenderse que afirman la existencia de puentes generales entre los pensamientos y las cosas. Sin embargo, ambos pueden, como los postulados concernientes a construcciones específicas, ser entendidos como "principios de finitud" que afirman la existencia de nuevos arithmoi. El Euclides “corregido” de Mayberry apuntalaría así las disciplinas hermanas de Geometría y Aritmética con Nociones Comunes, aplicables a ambas, complementadas por dos conjuntos de Postulados, uno para cada disciplina. De hecho, en la medida en que la geometría se basa en la noción de aritmos, lo hace incluso al definir triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc., pero de manera más exigente en algunas proposiciones, por ejemplo. Libro VI Prop. 31, que hace afirmaciones sobre polígonos generales: el Euclides “corregido” colocaría el estudio de Arithmoi antes que el de Geometría.
El elemento final de la filosofía central de Mayberry es su creencia de que Euclides no reconoció la fuerza de la Noción Común 5 cuando se aplicó al aritmoi se perdió una gran oportunidad histórica y, al permitirse definición por iteración, se dio un gran paso en falso cuyas consecuencias se han ramificado a lo largo de la historia de las matemáticas. Equipado con una apreciación adecuada de la Noción Común 5 y evitando la iteración, un Euclides "corregido" habría seguido aquellas partes de las matemáticas que están relacionadas con lo finito, además del contenido modesto real de los Libros 7-9, teoría de números naturales, finito combinatoria, teoría de campos y grupos finitos y, más en general, el estudio de estructuras finitas. Mayberry's llama a este tema Aritmética euclidiana y dedica una parte considerable de su libro a desarrollar sus conceptos básicos. Se interesa en particular por establecer hasta qué punto la prueba por inducción y la definición por recursividad están justificadas. Muestra que, lejos de que la teoría euclidiana del aritmoi sea una reelaboración menor de la teoría moderna de los números naturales, de hecho no se puede establecer una noción viable de los números naturales en la aritmética euclidiana. Complementando su punto de vista sobre la aritmética euclidiana, Mayberry opina que, así como se crearon geometrías alternativas al negar el axioma de paralelos de Euclides, se crea una aritmética alternativa al negar la noción común 5 y afirmar la existencia de al menos un aritmos para el cual el conjunto puede ponerse en correspondencia 1-1 con una parte. Esta teoría, que Mayberry preferiría denominar aritmética cantoriana, es, por supuesto, la teoría de conjuntos moderna, que ha demostrado ser capaz (posiblemente) de subsumir todas las matemáticas y, en particular, la geometría que, en la dispensación euclidiana de la adhesión a la noción común 5 , es una disciplina hermana separada de la aritmética.
La filosofía de Mayberry busca imponer un nuevo estándar, derivado de sus convicciones ontológicas y semánticas, de claridad y rigor en las matemáticas que se logrará en primera instancia a través de un programa de separación sistemática de la matemática euclidiana de la cantoriana. En el caso euclidiano, este estándar requeriría que los practicantes tanto de la geometría como de la aritmética eviten toda apelación a los procesos iterativos. El consecuente desafío más inmediato en Geometría es "corregir" a Euclides estableciendo los teoremas del Libro VI sobre la base de los métodos y técnicas de los Libros I-IV, evitando el uso del concepto de razón introducido en el Libro V. El desafío consiste en establecer los resultados del libro VII-IX sin recurrir al tipo de procedimiento iterativo que Euclides se permite a sí mismo en la definición de multiplicación. (Libro VII, Definición 15.) Para la aritmética cantoriana, el principal desafío sería mostrar que el gran cuerpo de las matemáticas infinitas --las disciplinas que fluyen de una forma u otra del cálculo-- no requieren cuantificadores ilimitados y, en consecuencia, que las instancias de las El esquema de reemplazo de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos que involucran tales cuantificadores, además de ser rechazado por la filosofía general de Mayberry, en cualquier caso, es técnicamente redundante.
Referencias
- ^ Mayberry, JP (2001). Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . Prensa de la Universidad de Cambridge .
- ^ Penrose, Roger (1994). Sombras de la mente . Prensa de la Universidad de Oxford pág. 413.
- ^ Mayberry, JP (2001). Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . pag. 15.
- ^ Mayberry, JP (2001). Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . Cambridge University Press págs. Xvi - xvii.
- ^ Heath, Thomas L (1908). Euclides Los trece libros de los elementos . Dover Volume II p. 114.
- ^ Heath, Thomas L. (1908). Euclides Los trece libros de los elementos . Volumen 1 pp.224-5.
- ^ Newton, Isaac (1720). Universal Arithmetick (Tr. Raphson) . J. Senex pág. 2.
- ^ Klein, Jacob (1966). Pensamiento matemático griego y el origen del álgebra . Dover .
- ^ Dedekind, Richard (1893). Was sind und fue sollen die Zahlen . Friedrich Biewig & Son, Braunschweig.
- ^ Gauss, Carl Friedrich . Carta a Olbers . 28 de abril de 1817.
- ^ Poincaré, Henri (1905). Ciencias e hipótesis . Walter Scott Publishing Company, Nueva York Capítulo 1 págs. 11-12.
- ^ Dedekind, Richard (1893). Was sind und fue sollen die Zahlen . Prefacio a la primera edición.
- ^ Hankin, Thomas L (1980). Sir William Rowan Hamilton . Prensa de la Universidad Johns Hopkins p. 250.
- ^ Aristóteles (Tr. Lawson-Tancred) (1998). La metafísica Mu 3, 1077b, 1078a . Pingüino.
- ^ Mayberry, JP (2001). Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . Cambridge University Press, págs. 89 y 83.
- ^ Mayberry, JP (2001). Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . Cambridge University Press pág. 44.
- ^ Mayberry, JP (2001). Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . Cambridge University Press pág. 60.
- ^ Mayberry, JP (2001). Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . Cambridge University Press pág. 89.