El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , también conocido como la conjetura de Bachet , establece que cada número natural se puede representar como la suma de cuatro cuadrados enteros . Es decir, los cuadrados forman una base aditiva de orden cuatro.
donde los cuatro números son enteros. A modo de ilustración, 3, 31 y 310 se pueden representar como la suma de cuatro cuadrados de la siguiente manera:
Sepa que 310 también se puede representar como la suma de estos cuatro cuadrados: , así como .
Este teorema fue probado por Joseph Louis Lagrange en 1770. Es un caso especial del teorema de números poligonales de Fermat .
Desarrollo historico
De los ejemplos dados en la Arithmetica , está claro que Diofanto conocía el teorema. Este libro fue traducido en 1621 al latín por Bachet (Claude Gaspard Bachet de Méziriac) , quien enunció el teorema en las notas de su traducción. Pero el teorema no fue probado hasta 1770 por Lagrange. [1]
Adrien-Marie Legendre extendió el teorema en 1797-178 con su teorema de los tres cuadrados , al demostrar que un entero positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y solo si no tiene la formapara enteros k y m . Más tarde, en 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi descubrió una fórmula simple para el número de representaciones de un número entero como la suma de cuatro cuadrados con su propio teorema de cuatro cuadrados .
La fórmula también está vinculada al teorema de Descartes de los cuatro "círculos de besos", que implica la suma de los cuadrados de las curvaturas de cuatro círculos. Esto también está relacionado con las juntas apolíneas , que se relacionaron más recientemente con la conjetura de Ramanujan-Petersson . [2]
La prueba clásica
Existen varias versiones modernas muy similares [3] [4] [5] de la prueba de Lagrange. La siguiente prueba es una versión ligeramente simplificada, en la que los casos en los que m es par o impar no requieren argumentos separados.
Es suficiente demostrar el teorema para todo número primo impar p . Esto se sigue inmediatamente de la identidad de cuatro cuadrados de Euler (y del hecho de que el teorema es cierto para los números 1 y 2).
Los residuos de a 2 módulo p son distintos para cada a entre 0 y ( p - 1) / 2 (inclusive). Para ver esto, tomar un poco de una y definir c como un 2 mod p . una es una raíz del polinomio x 2 - c sobre el campo Z / p Z . También lo es p - a (que es diferente de a ). En un campo K , cualquier polinomio de grado n tiene como máximo n raíces distintas ( teorema de Lagrange (teoría de números) ), por lo que no hay otro a con esta propiedad, en particular no entre 0 y ( p - 1) / 2 .
De manera similar, para b tomando valores integrales entre 0 y ( p - 1) / 2 (inclusive), los - b 2 - 1 son distintos. Por el principio del palomar , hay una y b en este intervalo, para el que un 2 y - b 2 - 1 son congruentes módulo p , que es para lo cual
Ahora sea m el entero positivo más pequeño tal que mp es la suma de cuatro cuadrados, x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 (acabamos de demostrar que hay algo de m (es decir, n ) con esta propiedad , por lo que hay al menos una m , y es menor que p ). Mostramos por contradicción que m es igual a 1: suponiendo que no sea el caso, probamos la existencia de un entero positivo r menor que m , para el cual rp es también la suma de cuatro cuadrados (esto es en el espíritu del descenso infinito [ 6] método de Fermat).
Para este propósito, consideramos para cada x i el y i que está en la misma clase de residuo módulo my entre (- m + 1) / 2 y m / 2 (posiblemente incluido). De ello se deduce que y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 + y 4 2 = mr , para algún entero estrictamente positivo r menor que m .
Finalmente, otra apelación a la identidad de cuatro cuadrados de Euler muestra que mpmr = z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 + z 4 2 . Pero el hecho de que cada x i sea congruente con su correspondiente y i implica que todos los z i son divisibles por m . En efecto,
De ello se deduce que, para w i = z i / m , w 1 2 + w 2 2 + w 3 2 + w 4 2 = rp , y esto está en contradicción con la minimidad de m .
En el descenso anterior, debemos descartar tanto el caso y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = m / 2 (lo que daría r = my ningún descenso), como también el caso y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = 0 (lo que daría r = 0 en lugar de estrictamente positivo). Para ambos casos, se puede comprobar que mp = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 sería un múltiplo de m 2 , lo que contradice el hecho de que p es un primo mayor que m .
Prueba usando los enteros de Hurwitz
Una de las formas de demostrar el teorema se basa en los cuaterniones de Hurwitz , que son el análogo de los enteros para los cuaterniones . [7] Los cuaterniones de Hurwitz constan de todos los cuaterniones con componentes enteros y todos los cuaterniones con componentes medio enteros . Estos dos conjuntos se pueden combinar en una sola fórmula
dónde son enteros. Por lo tanto, los componentes del cuaternión son todos enteros o todos medios enteros, dependiendo de si es par o impar, respectivamente. El conjunto de cuaterniones de Hurwitz forma un anillo ; es decir, la suma o el producto de dos cuaterniones de Hurwitz cualesquiera es igualmente un cuaternión de Hurwitz.
La norma (aritmética o de campo) de un cuaternión racional es el número racional no negativo
dónde es el conjugado de. Tenga en cuenta que la norma de un cuaternión de Hurwitz es siempre un número entero. (Si los coeficientes son medios enteros, entonces sus cuadrados tienen la forma, y la suma de cuatro de esos números es un número entero).
Dado que la multiplicación de cuaterniones es asociativa y los números reales se conmutan con otros cuaterniones, la norma de un producto de cuaterniones es igual al producto de las normas:
Para cualquier , . Se sigue fácilmente que es una unidad en el anillo de los cuaterniones de Hurwitz si y solo si .
La demostración del teorema principal comienza por reducción al caso de números primos. La identidad de los cuatro cuadrados de Euler implica que si el teorema de los cuatro cuadrados de Langrange es válido para dos números, es válido para el producto de los dos números. Dado que cualquier número natural se puede factorizar en potencias de primos, basta con demostrar el teorema de los números primos. Es cierto para. Para mostrar esto para un entero primo impar p , representarlo como un cuaternióny supongamos por ahora (como mostraremos más adelante) que no es un Hurwitz irreductible ; es decir, se puede factorizar en dos cuaterniones de Hurwitz no unitarios
Las normas de son enteros tales que
y . Esto muestra que tanto y son iguales ap (ya que son números enteros), yp es la suma de cuatro cuadrados
Si sucede que el elegido tiene coeficientes de medio entero, puede ser reemplazado por otro cuaternión de Hurwitz. Escoger de una manera que tiene incluso coeficientes enteros. Luego
Desde tiene coeficientes enteros pares, tendrá coeficientes enteros y se puede utilizar en lugar del original para dar una representación de p como la suma de cuatro cuadrados.
En cuanto a demostrar que p no es un irreductible de Hurwitz, Lagrange demostró que cualquier primo impar p divide al menos un número de la forma, Donde l y m son números enteros. [7] Esto se puede ver de la siguiente manera: dado que p es primo, puede sostener para enteros , sólo cuando . Por lo tanto, el conjunto de cuadrados contiene residuos distintos módulo p . Igualmente, contiene residuos. Dado que solo hay p residuos en total, y, los conjuntos X e Y deben cruzarse.
El número u se puede factorizar en cuaterniones de Hurwitz:
La norma sobre cuaterniones de Hurwitz satisface una forma de la propiedad euclidiana : para cualquier cuaternión con coeficientes racionales podemos elegir un cuaternión de Hurwitz así que eso eligiendo primero así que eso y entonces así que eso por . Entonces obtenemos
De ello se deduce que para los cuaterniones de Hurwitz con , existe un cuaternión de Hurwitz tal que
El anillo H de los cuaterniones de Hurwitz no es conmutativo, por lo tanto, no es un dominio euclidiano real y no tiene factorización única en el sentido habitual. Sin embargo, la propiedad anterior implica que todo ideal correcto es principal . Por lo tanto, hay un cuaternión de Hurwitz tal que
En particular, para un cuaternión de Hurwitz . Si eran una unidad, sería un múltiplo de p , sin embargo esto es imposible ya que no es un cuaternión de Hurwitz para . Del mismo modo, si si fuera una unidad, tendríamos
entonces p divide, que nuevamente contradice el hecho de que no es un cuaternión de Hurwitz. Por tanto, p no es Hurwitz irreductible, como se afirma.
Generalizaciones
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat y el problema de Waring . Otra posible generalización es el siguiente problema: Dados números naturales , podemos resolver
para todos los enteros positivos n en enteros? El casoes respondida positivamente por el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange. La solución general la dio Ramanujan . [8] Demostró que si asumimos, sin pérdida de generalidad, que entonces hay exactamente 54 opciones posibles para tal que el problema se pueda resolver en números enteros para todos n . (Ramanujan enumeró una posibilidad número 55, pero en este caso el problema no tiene solución si . [9] )
Algoritmos
Michael O. Rabin y Jeffrey Shallit [10] han encontrado algoritmos aleatorios de tiempo polinomial para calcular una sola representación.para un entero n dado , en el tiempo de ejecución esperado.
Numero de representaciones
El número de representaciones de un número natural n como la suma de cuatro cuadrados se denota por r 4 ( n ). El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi establece que esto es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par (ver función divisor ), es decir
De manera equivalente, es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir
También podemos escribir esto como
donde el segundo término debe tomarse como cero si n no es divisible por 4. En particular, para un número primo p tenemos la fórmula explícita r 4 ( p ) = 8 ( p + 1). [11]
Algunos valores de r 4 ( n ) ocurren infinitamente a menudo como r 4 ( n ) = r 4 (2 m n ) siempre que n es par. Los valores de r 4 ( n ) / n pueden ser arbitrariamente grandes: de hecho, r 4 ( n ) / n es infinitamente a menudo mayor que 8 √ log n . [11]
Unicidad
La secuencia de números enteros positivos que tienen una sola representación como suma de cuatro cuadrados (hasta el orden) es:
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (secuencia A006431 en la OEIS ).
Estos enteros constan de los siete números impares 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23 y todos los números de la forma o .
La secuencia de números enteros positivos que no se puede representar como una suma de cuatro cuadrados distintos de cero es:
- 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (secuencia A000534 en la OEIS ).
Estos enteros constan de los ocho números impares 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 y todos los números de la forma o .
Más refinamientos
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange se puede refinar de varias formas. Por ejemplo, Zhi-Wei Sun [12] demostró que cada número natural se puede escribir como una suma de cuatro cuadrados con algunos requisitos sobre la elección de estos cuatro números.
Uno también puede preguntarse si es necesario usar todo el conjunto de números enteros cuadrados para escribir cada natural como la suma de cuatro cuadrados. Wirsing demostró que existe un conjunto de cuadrados S conde modo que todo entero positivo menor o igual a n se puede escribir como una suma de 4 elementos de S como máximo . [13]
Ver también
- Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados
- Teorema del número poligonal de Fermat
- El problema de Waring
- Teorema de los tres cuadrados de Legendre
- Teorema de la suma de dos cuadrados
- 15 y 290 teoremas
Notas
- ^ Irlanda y Rosen 1990 .
- ^ Sarnak, 2013 .
- ↑ Landau 1958 , Teoremas 166 a 169.
- ^ Hardy y Wright 2008 , Teorema 369.
- ^ Niven y Zuckerman 1960 , párrafo 5.7.
- ^ Aquí el argumento es una prueba directa por contradicción . Con el supuesto inicial de que m > 2, m < p , es un número entero tal que mp es la suma de cuatro cuadrados (no necesariamente el más pequeño), el argumento podría modificarse para convertirse en un argumento de descendencia infinita en el espíritu de Fermat.
- ↑ a b Stillwell , 2003 , págs. 138-157.
- ^ Ramanujan 1917 .
- ^ Oh 2000 .
- ^ Rabin y Shallit 1986 .
- ↑ a b Williams , 2011 , p. 119.
- ^ Z.-W. Sol de 2017 .
- ^ Spencer 1996.
Referencias
- Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Heath-Brown, DR ; Silverman, JH ; Wiles, Andrew (eds.). Introducción a la teoría de los números (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-921985-8.
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna (2ª ed.). Saltador. doi : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4 . ISBN 978-1-4419-3094-1.
- Landau, Edmund (1958) [1927]. Teoría elemental de números . 125 . Traducido por Goodman, Jacob E. (2ª ed.). AMS Chelsea Publishing.
- Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S. (1960). Introducción a la teoría de los números . Wiley .
- Oh, Byeong-Kweon (2000). "Representaciones de formas binarias por formas cuadráticas quinarias" (PDF) . Tendencias en Matemáticas . 3 (1): 102–107.
- Rabin, MO ; Shallit, JO (1986). "Algoritmos aleatorios en teoría de números". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 39 (S1): S239 – S256. doi : 10.1002 / cpa.3160390713 .
- Ramanujan, S. (1917). "Sobre la expresión de un número en la forma ax 2 + por 2 + cz 2 + dw 2 ". Proc. Camb. Phil. Soc . 19 : 11-21.
- Sarnak, Peter (2013). "La conjetura de Ramanujan y algunas ecuaciones diofánticas" (Conferencia en el Instituto Tata de Investigación Fundamental). Serie de conferencias ICTS. Bangalore, India.
- Stillwell, John (2003). Elementos de la teoría de números . Textos de Licenciatura en Matemáticas. Saltador. doi : 10.1007 / 978-0-387-21735-2 . ISBN 978-0-387-95587-2. Zbl 1112.11002 .
- Sol, Z.-W. (2017). "Refinando el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange". J. Teoría de números . 175 : 167-190. arXiv : 1604.06723 . doi : 10.1016 / j.jnt.2016.11.008 . S2CID 119597024 .
- Williams, Kenneth S. (2011). Teoría de números en el espíritu de Liouville . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 76 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002 .
- Spencer, Joel (1996). "Cuatro cuadrados con pocos cuadrados". Teoría de números: Seminario de Nueva York 1991-1995 . Springer EE. UU. págs. 295-297. doi : 10.1007 / 978-1-4612-2418-1_22 . ISBN 9780387948263.
enlaces externos
- Prueba en PlanetMath.org
- Otra prueba
- un applet que descompone números como sumas de cuatro cuadrados
- Índice OEIS para secuencias relacionadas con sumas de cuadrados y sumas de cubos