Dejar ser un número entero positivo . En teoría de números , la función totient de Jordan de un entero positivo es el numero de -tuplas de enteros positivos todos menores o iguales a que forman un coprime -tupla junto con . (Una tupla es coprima si y solo si es coprima como conjunto .) Esta es una generalización de la función totient de Euler , que es. La función lleva el nombre de Camille Jordan .
Definición
Para cada , La función totient de Jordan es multiplicativo y puede evaluarse como
- , dónde rangos a través de los divisores primos de .
Propiedades
que puede estar escrito en el lenguaje de las convoluciones de Dirichlet como [1]
y a través de la inversión de Möbius como
- .
Dado que la función generadora de Dirichlet de es y la función generadora de Dirichlet de es , la serie para se convierte en
- .
- Un orden promedio de es
- .
- La función psi de Dedekind es
- ,
y mediante la inspección de la definición (reconociendo que cada factor en el producto sobre los primos es un polinomio ciclotómico de ), las funciones aritméticas definidas por o también se puede demostrar que son funciones multiplicativas con valores enteros.
- . [2]
Orden de grupos de matrices
El grupo lineal general de matrices de orden encima tiene orden [3]
El grupo lineal especial de matrices de orden encima tiene orden
El grupo simpléctico de matrices de orden encima tiene orden
Las dos primeras fórmulas fueron descubiertas por Jordan.
Ejemplos de
Las listas explícitas en OEIS son J 2 en OEIS : A007434 , J 3 en OEIS : A059376 , J 4 en OEIS : A059377 , J 5 en OEIS : A059378 , J 6 hasta J 10 en OEIS : A069091 hasta OEIS : A069095 .
Las funciones multiplicativas definidas por razones son J 2 (n) / J 1 (n) en OEIS : A001615 , J 3 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160889 , J 4 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160891 , J 5 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160893 , J 6 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160895 , J 7 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160897 , J 8 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160908 , J 9 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160953 , J 10 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160957 , J 11 (n) / J 1 (n) en OEIS : A160960 .
Ejemplos de las relaciones J 2k (n) / J k (n) son J 4 (n) / J 2 (n) en OEIS : A065958 , J 6 (n) / J 3 (n) en OEIS : A065959 y J 8 (n) / J 4 (n) en OEIS : A065960 .
Notas
- ^ Sándor y Crstici (2004) p.106
- ^ Holden et al en enlaces externos La fórmula es la de Gegenbauer
- ^ Todas estas fórmulas son de Andrici y Priticari en # Enlaces externos
Referencias
- LE Dickson (1971) [1919]. Historia de la teoría de los números, vol. Yo . Chelsea Publishing . pag. 147. ISBN 0-8284-0086-5. JFM 47.0100.04 .
- M. Ram Murty (2001). Problemas en la teoría analítica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas . 206 . Springer-Verlag . pag. 11. ISBN 0-387-95143-1. Zbl 0971.11001 .
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 .
enlaces externos
- Andrica, Dorin ; Piticari, Mihai (2004). "Sobre algunas extensiones de las funciones aritméticas de Jordan" (PDF) . Acta universitatis Apulensis (7). Señor 2157944 .
- Holden, Matthew; Orrison, Michael; Varble, Michael. "Sin embargo, otra generalización de la función Totient de Euler" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 5 de marzo de 2016 . Consultado el 21 de diciembre de 2011 .