En matemáticas , la convolución de Dirichlet es una operación binaria definida para funciones aritméticas ; es importante en la teoría de números . Fue desarrollado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet .
Definición
Si son dos funciones aritméticas desde los enteros positivos hasta los números complejos , la convolución de Dirichlet f ∗ g es una nueva función aritmética definida por:
donde la suma se extiende sobre todos los divisores positivos d de n , o de manera equivalente sobre todos los pares distintos ( a , b ) de enteros positivos cuyo producto es n .
Este producto se produce de forma natural en el estudio de series de Dirichlet como la función zeta de Riemann . Describe la multiplicación de dos series de Dirichlet en términos de sus coeficientes:
Propiedades
El conjunto de funciones aritméticas forma un anillo conmutativo , elAnillo de Dirichlet , bajoadición puntual, donde f + g se define por( f + g ) ( n ) = f ( n ) + g ( n ), y convolución de Dirichlet. La identidad multiplicativa es lafunción unitaria εdefinida por ε ( n ) = 1si n = 1y ε ( n ) = 0si n > 1. Lasunidades(elementos invertibles) de este anillo son las funciones aritméticasfcon f (1) ≠ 0.
Específicamente, la convolución de Dirichlet es [1] asociativa ,
distribuye sobre la adición
- ,
es conmutativo ,
- ,
y tiene un elemento de identidad,
- = .
Además, para cada teniendo , existe una función aritmética con , llamó al Dirichlet inverso de.
La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa, y toda función multiplicativa que no sea constantemente cero tiene un inverso de Dirichlet que también es multiplicativo. En otras palabras, las funciones multiplicativas forman un subgrupo del grupo de elementos invertibles del anillo de Dirichlet. Sin embargo, tenga en cuenta que la suma de dos funciones multiplicativas no es multiplicativa (ya que), por lo que el subconjunto de funciones multiplicativas no es un subanillo del anillo de Dirichlet. El artículo sobre funciones multiplicativas enumera varias relaciones de convolución entre funciones multiplicativas importantes.
Otra operación sobre funciones aritméticas es la multiplicación puntual: fg se define por ( fg ) ( n ) = f ( n ) g ( n ) . Dada una función completamente multiplicativa , multiplicación puntual por distribuye sobre la convolución de Dirichlet: . [2] La convolución de dos funciones completamente multiplicativas es multiplicativa, pero no necesariamente completamente multiplicativa.
Ejemplos de
En estas fórmulas, usamos las siguientes funciones aritméticas :
- es la identidad multiplicativa: , de lo contrario 0.
- es la función constante con valor 1: para todos . Manten eso en menteno es la identidad. (Algunos autores denotan esto comoporque la serie de Dirichlet asociada es la función zeta de Riemann ).
- por es una función indicadora establecida : si , de lo contrario 0.
- es la función de identidad con valor n :.
- es la k- ésima función de potencia:.
Se mantienen las siguientes relaciones:
- , la inversa de Dirichlet de la función constante es la función de Möbius . Por eso:
- si y solo si , la fórmula de inversión de Möbius
- , la función de suma k-ésima-potencia-de-divisores σ k
- , la función de suma de divisores σ = σ 1
- , la función de número de divisores d ( n ) = σ 0
- , por inversión de Möbius de las fórmulas para σ k , σ y d
- , probado bajo la función totient de Euler
- , por inversión de Möbius
- , de enrollar 1 en ambos lados de
- donde λ es la función de Liouville
- donde Sq = {1, 4, 9, ...} es el conjunto de cuadrados
- , La función totient de Jordan
- , dónde es la función de von Mangoldt
- dónde es la función omega prima que cuenta distintos factores primos de n
- , la función característica de los poderes primos.
- dónde es la función característica de los números primos.
Esta última identidad muestra que la función de conteo prima está dada por la función sumatoria
dónde es la función de Mertens yes la función de conteo de factores primos distinta de arriba. Esta expansión se deriva de la identidad para las sumas sobre convoluciones de Dirichlet que se encuentran en la página de identidades de suma de divisores (un truco estándar para estas sumas). [3]
Dirichlet inverso
Ejemplos de
Dada una función aritmética su inverso de Dirichlet puede calcularse de forma recursiva: el valor de es en términos de por .
Para :
- , entonces
- . Esto implica que no tiene una inversa de Dirichlet si .
Para :
- ,
- ,
Para :
- ,
- ,
Para :
- ,
- ,
y en general para ,
Propiedades
Las siguientes propiedades de la inversa de Dirichlet se mantienen: [4]
- La función f tiene una inversa de Dirichlet si y solo si f (1) ≠ 0 .
- La inversa de Dirichlet de una función multiplicativa es nuevamente multiplicativa.
- La inversa de Dirichlet de una convolución de Dirichlet es la convolución de las inversas de cada función: .
- Una función multiplicativa f es completamente multiplicativa si y solo si.
- Si f es completamente multiplicativo, entonces cuando sea y donde denota multiplicación puntual de funciones.
Otras fórmulas
Función aritmética | Inverso de Dirichlet: [5] |
---|---|
Función constante con valor 1 | Función de Möbius μ |
Función de Liouville λ | Valor absoluto de la función de Möbius | μ | |
Función totient de Euler | |
La función de suma de divisores generalizada |
Una fórmula exacta, no recursiva para el inverso de Dirichlet de cualquier función aritmética f se da en Divisor sum identities . Una expresión más teórica de partición para la inversa de Dirichlet de f está dada por
La siguiente fórmula proporciona una forma compacta de expresar el inverso de Dirichlet de una función aritmética invertible f :
donde la expresion representa la función aritmética enrevesado consigo mismo k veces. Observe que, para un entero positivo fijo, Si luego , esto es porque y toda forma de expresar n como un producto de k enteros positivos debe incluir un 1, por lo que la serie del lado derecho converge para cada entero positivo fijo n.
Serie Dirichlet
Si f es una función aritmética, se define su función generadora de series de Dirichlet por
para aquellos complejos argumentos s para la que los serie converge (si los hay). La multiplicación de series de Dirichlet es compatible con la convolución de Dirichlet en el siguiente sentido:
para todos los s para los que ambas series del lado izquierdo convergen, una de ellas al menos converge absolutamente (¡tenga en cuenta que la simple convergencia de ambas series del lado izquierdo NO implica convergencia del lado derecho!). Esto es similar al teorema de convolución si uno piensa en la serie de Dirichlet como una transformada de Fourier .
Conceptos relacionados
La restricción de los divisores en la convolución a divisores unitarios , bi-unitarios o infinitarios define operaciones conmutativas similares que comparten muchas características con la convolución de Dirichlet (existencia de una inversión de Möbius, persistencia de multiplicatividad, definiciones de totients, fórmulas de productos de tipo Euler sobre primos asociados, etc.).
La convolución de Dirichlet es la convolución del álgebra de incidencia para los enteros positivos ordenados por divisibilidad.
Ver también
- Función aritmética
- Identidades de suma de divisores
- Fórmula de inversión de Möbius
Referencias
- ↑ Las pruebas de todos estos hechos se encuentran en Chan, cap. 2
- ^ Una prueba está en el artículo Función completamente multiplicativa # Prueba de propiedad distributiva .
- ^ Schmidt, Maxie. Introducción de Apostol a la teoría analítica de números .Esta identidad es algo especial, algo que llamo "picatostes". Se desprende de varios capítulos de ejercicios en el libro clásico de Apostol.
- ^ Nuevamente vea Apostol Capítulo 2 y los ejercicios al final del capítulo.
- ^ Ver Apostol Capítulo 2.
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Chan, Heng Huat (2009). Teoría analítica de números para estudiantes de pregrado . Monografías en Teoría de Números. Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 981-4271-36-5.
- Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge en matemáticas avanzadas. 97 . Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. pag. 38. ISBN 0-521-84903-9.
- Cohen, Eckford (1959). "Una clase de sistemas de residuos (mod r) y funciones aritméticas relacionadas. I. Una generalización de la inversión de Möbius". Pacific J. Math . 9 (1). págs. 13-23. Señor 0109806 .
- Cohen, Eckford (1960). "Funciones aritméticas asociadas a los divisores unitarios de un número entero". Mathematische Zeitschrift . 74 . págs. 66–80. doi : 10.1007 / BF01180473 . Señor 0112861 .
- Cohen, Eckford (1960). "El número de divisores unitarios de un entero". American Mathematical Monthly . 67 (9). págs. 879–880. Señor 0122790 .
- Cohen, Graeme L. (1990). "En divisores infinitarios de números enteros". Matemáticas. Comp . 54 (189). págs. 395–411. doi : 10.1090 / S0025-5718-1990-0993927-5 . Señor 0993927 .
- Cohen, Graeme L. (1993). "Funciones aritméticas asociadas a divisores infinitarios de un entero". En t. J. Math. Matemáticas. Sci . 16 (2). págs. 373–383. doi : 10.1155 / S0161171293000456 .
- Sandor, Jozsef; Berge, Antal (2003). "La función de Möbius: generalizaciones y ampliaciones". Adv. Semental. Desprecio. Matemáticas. (Kyungshang) . 6 (2): 77–128. Señor 1962765 .
- Finch, Steven (2004). "Unitarismo e infinitarismo" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de febrero de 2015.
enlaces externos
- "Convolución de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]