En teoría de números , la función psi de Dedekind es la función multiplicativa de los enteros positivos definidos por
donde el producto se toma sobre todos los primos divisor (Por convención, , que es el producto vacío , tiene valor 1.) La función fue introducida por Richard Dedekind en relación con las funciones modulares .
El valor de para los primeros enteros es:
La función es mayor que para todos mayor que 1, y es uniforme para todos mayor que 2. Si es un número libre de cuadrados entonces, dónde es la función del divisor .
La La función también se puede definir configurando para poderes de cualquier prima y luego extender la definición a todos los enteros mediante multiplicatividad. Esto también conduce a una prueba de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann , que es
Esto también es una consecuencia del hecho de que podemos escribir como una convolución de Dirichlet de.
También hay una definición aditiva de la función psi. Citando a Dickson, [1]
R. Dedekind [2] demostró que, si n se descompone de todas las formas en un producto ab y si e es el mcd de a, b entonces
donde a abarca todos los divisores de nyp sobre los divisores primos de n.
Tenga en cuenta que es la función totient.
Órdenes superiores
La generalización a órdenes superiores a través de las proporciones del totient de Jordan es
con la serie Dirichlet
- .
También es la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius ,
- .
Si
es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet conduce a la función σ generalizada ,
- .
Referencias
enlaces externos
Ver también
- Goro Shimura (1971). Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas . Princeton. (página 25, ecuación (1))
- Mathar, Richard J. (2011). "Estudio de la serie de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [ math.NT ]. Sección 3.13.2
- OEIS : A065958 es ψ 2 , OEIS : A065959 es ψ 3 y OEIS : A065960 es ψ 4