En caso es de la forma
para alguna función aritmética , uno tiene,
Aquí se encuentran las generalizaciones de la identidad anterior . Esta identidad a menudo proporciona una forma práctica de calcular el valor medio en términos de la función zeta de Riemann . Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
La densidad de los k-ésimos enteros libres de potencia en N
Por un entero el conjunto de k -ésimos enteros libres de potencia es
Calculamos la densidad natural de estos números en N , es decir, el valor medio de, denotado por , en términos de la función zeta .
La función es multiplicativo, y dado que está acotado por 1, su serie de Dirichlet converge absolutamente en el semiplano, y tiene el producto Euler
Por la fórmula de inversión de Möbius , obtenemos
dónde significa la función de Möbius . Equivalentemente,
dónde
y por lo tanto,
Al comparar los coeficientes, obtenemos
Usando (1), obtenemos
Concluimos que,
donde para esto usamos la relación
que se sigue de la fórmula de inversión de Möbius.
En particular, la densidad de los números enteros libres de cuadrados es.
Visibilidad de los puntos de celosía
Decimos que dos puntos de celosía son visibles entre sí si no hay un punto de celosía en el segmento de línea abierta que los une.
Ahora, si mcd ( a , b ) = d > 1, entonces escribiendo a = da 2 , b = db 2 se observa que el punto ( a 2 , b 2 ) está en el segmento de recta que une (0,0) a ( a , b ) y por lo tanto ( a , b ) no es visible desde el origen. Por lo tanto, ( a , b ) es visible desde el origen implica que ( a , b ) = 1. A la inversa, también es fácil ver que mcd ( a , b ) = 1 implica que no hay otro punto reticular entero en el segmento uniendo (0,0) a ( a , b ). Por lo tanto, ( a , b ) es visible desde (0,0) si y solo si mcd ( a , b ) = 1.
Nota que es la probabilidad de un punto aleatorio en el cuadrado para ser visible desde el origen.
Así, se puede demostrar que la densidad natural de los puntos visibles desde el origen viene dada por el promedio,
es también la densidad natural de los números libres de cuadrados en N . De hecho, esto no es una coincidencia. Considere el enrejado k -dimensional,. La densidad natural de los puntos visibles desde el origen es, Que es también la densidad natural de la k números enteros libres-ésimo en N .
Funciones de divisor
Considere la generalización de :
Lo siguiente es cierto:
dónde .
Definición
Sea h ( x ) una función del conjunto de polinomios mónicos sobre F q . Para definimos
Este es el valor medio (valor medio) de h en el conjunto de polinomios monicos de grado n . Decimos que g ( n ) es un orden promedio de h si
ya que n tiende a infinito.
En los casos en que el límite,
existe, se dice que h tiene un valor medio ( valor medio ) c .
Función Zeta y serie de Dirichlet en F q [X]
Sea F q [X] = A el anillo de polinomios sobre el campo finito F q .
Sea h una función aritmética polinomial (es decir, una función en un conjunto de polinomios monicos sobre A ). Su correspondiente serie de Dirichlet se define como
donde para , colocar Si , y de lo contrario.
La función zeta polinomial es entonces
Similar a la situación en N , cada serie de Dirichlet de una función multiplicativa h tiene una representación de producto (producto de Euler):
Cuando el producto se ejecuta sobre todo polinomio irreducible mónico P .
Por ejemplo, la representación del producto de la función zeta es como para los enteros: .
A diferencia de la función zeta clásica , es una función racional simple:
De manera similar, Si ƒ y g son dos funciones polinómicas aritméticas, uno define ƒ * g , la convolución de Dirichlet de ƒ y g , por
donde la suma se extiende sobre todos los divisores monicos d de m , o de manera equivalente sobre todos los pares ( a , b ) de polinomios monicos cuyo producto es m . La identidadaún mantiene. Así, como en la teoría elemental, la serie de Dirichlet polinomial y la función zeta tienen una conexión con la noción de valores medios en el contexto de polinomios. Los siguientes ejemplos lo ilustran.
Ejemplos de
La densidad de los k -ésimos polinomios libres de potencia en F q [X]
Definir ser 1 si es k -ésima potencia libre y 0 en caso contrario.
Calculamos el valor medio de , que es la densidad de los k -ésimos polinomios libres de potencia en F q [X] , de la misma manera que en los números enteros.
Por multiplicatividad de :
Denotar el número de polinomios monicos de k -ésima potencia de grado n , obtenemos
Haciendo la sustitución obtenemos:
Finalmente, expanda el lado izquierdo en una serie geométrica y compare los coeficientes en en ambos lados, para concluir que
Por eso,
Y como no depende de n, este es también el valor medio de.
Funciones del divisor polinomial
En F q [X] , definimos
Nosotros computaremos por .
Primero, note que
dónde y .
Por lo tanto,
Sustituir obtenemos,
- , y por producto de Cauchy obtenemos,
Finalmente lo conseguimos
Nota que
Por lo tanto, si establecemos entonces el resultado anterior dice
que se asemeja al resultado análogo para los enteros:
Numero de divisores
Dejar sea el número de divisores mónicos de fy sea ser la suma de sobre todos los monics de grado n.
dónde .
Expandiendo el lado derecho en series de potencia obtenemos,
Sustituir la ecuación anterior se convierte en:
- que se parece mucho al resultado análogo para enteros , dónde es la constante de Euler .
No se sabe mucho sobre el término de error para los números enteros, mientras que en el caso de los polinomios, ¡no hay ningún término de error! Esto se debe a la naturaleza muy simple de la función zeta, y que NO tiene ceros.
Función polinomial de von Mangoldt
La función Polynomial von Mangoldt está definida por:
Donde el logaritmo se toma sobre la base de q .
Proposición. El valor medio dees exactamente 1 .
Prueba. Sea m un polinomio monico y sea ser la descomposición prima de m.
Tenemos,
Por eso,
y lo conseguimos,
Ahora,
Por lo tanto,
Lo tenemos:
Ahora,
Por eso,
y dividiendo por lo entendemos,
Función totient polinomial de Euler
Defina el análogo polinomial de la función totient de Euler ,, para ser el número de elementos en el grupo . Tenemos,