El teorema de Kac-Bernstein es uno de los primeros teoremas de caracterización de la estadística matemática . Es fácil ver que si las variables aleatorias y son independientes y se distribuyen normalmente con la misma varianza, entonces su suma y diferencia también son independientes. El teorema de Kac-Bernstein establece que la independencia de la suma y la diferencia de dos variables aleatorias independientes caracteriza la distribución normal (la distribución de Gauss ). Este teorema fue probado de forma independiente por el matemático polaco-estadounidense Mark Kac y el matemático soviético Sergei Bernstein .
Formulación
Dejar y son variables aleatorias independientes. Si y son independientes entonces y tienen distribuciones normales (la distribución gaussiana ).
Generalización
Una generalización del teorema de Kac-Bernstein es el teorema de Darmois-Skitovich , en el que en lugar de sumas y diferencias se consideran formas lineales de n variables aleatorias independientes.
Referencias
- Kac M. "Sobre una caracterización de la distribución normal", American Journal of Mathematics . 1939. 61. págs. 726—728.
- Bernstein SN "En una propiedad que caracteriza una distribución gaussiana", Actas del Instituto Politécnico de Leningrado . 1941. V. 217, No 3. págs. 21-22.