conjunto kakeya

En matemáticas , un conjunto de Kakeya , o conjunto de Besicovitch , es un conjunto de puntos en el espacio euclidiano que contiene un segmento de línea unitario en cada dirección. Por ejemplo, un disco de radio 1/2 en el plano euclidiano , o una bola de radio 1/2 en el espacio tridimensional, forma un conjunto Kakeya. Gran parte de la investigación en esta área ha estudiado el problema de cuán pequeños pueden ser estos conjuntos. Besicovitch demostró que hay conjuntos de Besicovitch de medida cero .

Un conjunto de agujas Kakeya (a veces también conocido como conjunto Kakeya) es un conjunto (Besicovitch) en el plano con una propiedad más fuerte, que un segmento de línea de unidad se puede girar continuamente 180 grados dentro de él, volviendo a su posición original con orientación inversa . Nuevamente, el disco de radio 1/2 es un ejemplo de un juego de agujas Kakeya.

El problema de la aguja de Kakeya pregunta si hay un área mínima de una región D en el plano, en la que una aguja de longitud unitaria se puede girar 360°. Esta pregunta fue planteada por primera vez, para las regiones convexas , por Sōichi Kakeya  ( 1917 ). El área mínima para conjuntos convexos se logra mediante un triángulo equilátero de altura 1 y área 1/ √ 3 , como mostró Pál . [1]

Kakeya parece haber sugerido que el conjunto Kakeya D de área mínima, sin la restricción de convexidad, sería una forma deltoidea de tres puntas . Sin embargo, esto es falso; hay conjuntos Kakeya no convexos más pequeños.

Besicovitch pudo demostrar que no existe un límite inferior > 0 para el área de tal región D , en la que se puede girar una aguja de longitud unitaria. [2] Esto se basó en un trabajo anterior suyo, en conjuntos planos que contienen un segmento unitario en cada orientación. Tal conjunto ahora se llama conjunto de Besicovitch . El trabajo de Besicovitch que muestra que un conjunto de este tipo podría tener una medida arbitrariamente pequeña data de 1919. Es posible que los analistas hayan considerado el problema antes de eso.

Un método para construir un conjunto de Besicovitch (ver la figura para las ilustraciones correspondientes) se conoce como "árbol Perron" en honor a Oskar Perron , quien pudo simplificar la construcción original de Besicovitch: [3] tome un triángulo con altura 1, divídalo en dos, y Traslade ambas piezas una sobre la otra para que sus bases se superpongan en un pequeño intervalo. Entonces esta nueva figura tendrá un área total reducida.

Se muestra una aguja girando dentro de un deltoides . En cada etapa de su rotación (excepto cuando un punto final está en una cúspide del deltoides), la aguja está en contacto con el deltoides en tres puntos: dos puntos finales (azul) y un punto tangente (negro). El punto medio de la aguja (rojo) describe un círculo con un diámetro igual a la mitad de la longitud de la aguja.
Un método de "brotación" para construir un conjunto Kakeya de pequeña medida. Aquí se muestran dos formas posibles de dividir nuestro triángulo y superponer las piezas para obtener un conjunto más pequeño, la primera si solo usamos dos triángulos y la segunda si usamos ocho. Observe cuán pequeños son los tamaños de las figuras finales en comparación con la figura inicial original.
Un juego de agujas Kakeya construido con árboles de Perron.