Función de Kempner
En teoría de números , la función de Kempner S ( n ) [1] se define para un entero positivo dado n como el número más pequeño s tal que n divide el factorial s !. Por ejemplo, el número 8 no divide 1 !, 2 !, 3 !, pero divide 4 !, entonces S (8) = 4.
Esta función tiene la propiedad de que crece linealmente en los números primos pero solo crece sublogarítmicamente en los números factoriales.
Esta función fue considerada por primera vez por François Édouard Anatole Lucas en 1883, [2] seguido por Joseph Jean Baptiste Neuberg en 1887. [3] En 1918, AJ Kempner dio el primer algoritmo correcto para calcular S ( n ). [4]
La función de Kempner también se denomina a veces función de Smarandache después del redescubrimiento de Florentin Smarandache de la función en 1980. [5]
Dado que n divide a n !, S ( n ) siempre es como máximo n . Un número n mayor que 4 es un número primo si y solo si S ( n ) = n . [6] Es decir, los números n para los que S ( n ) es lo más grande posible en relación con n son los números primos. En la otra dirección, los números para los cuales S ( n ) es lo más pequeño posible son los factoriales: S ( k !) = K , para todos k ≥ 1.
S ( n ) es el grado más pequeño posible de un polinomio monico con coeficientes enteros, cuyos valores sobre los enteros son todos divisibles por n . [1] Por ejemplo, el hecho de que S (6) = 3 significa que hay un polinomio cúbico cuyos valores son todos cero módulo 6, por ejemplo el polinomio
