En geometría , las coordenadas de línea se utilizan para especificar la posición de una línea, al igual que las coordenadas de puntos (o simplemente coordenadas ) se utilizan para especificar la posición de un punto.
Líneas en el avión
Hay varias formas posibles de especificar la posición de una línea en el plano. Una forma simple es por el par ( m , b ) donde la ecuación de la línea es y = mx + b . Aquí m es la pendiente y b es la intersección con el eje y . Este sistema especifica coordenadas para todas las líneas que no son verticales. Sin embargo, es más común y más simple algebraicamente usar coordenadas ( l , m ) donde la ecuación de la línea es lx + my + 1 = 0. Este sistema especifica coordenadas para todas las líneas excepto aquellas que pasan por el origen. Las interpretaciones geométricas de l y m son los recíprocos negativos de la x y la y intercepción respectivamente.
La exclusión de las líneas que pasan por el origen se puede resolver usando un sistema de tres coordenadas ( l , m , n ) para especificar la línea con la ecuación lx + my + n = 0. Aquí l y m pueden no ser ambos 0. en esta ecuación, sólo las proporciones entre l , m y n son significativos, en otras palabras si las coordenadas se multiplican por un escalar no-cero, entonces restos línea representada de la misma. Entonces ( l , m , n ) es un sistema de coordenadas homogéneas para la línea.
Si los puntos en el plano proyectivo real están representados por coordenadas homogéneas ( x , y , z ) , la ecuación de la recta es lx + my + nz = 0, siempre que ( l , m , n ) ≠ (0,0,0) . En particular, la línea de coordenadas (0, 0, 1) representa la línea z = 0, que es la línea en el infinito en el plano proyectivo . Coordenadas de línea (0, 1, 0) y (1, 0, 0) representan la x y y -axes respectivamente.
Ecuaciones tangenciales
Así como f ( x , y ) = 0 puede representar una curva como un subconjunto de los puntos en el plano, la ecuación φ ( l , m ) = 0 representa un subconjunto de las líneas en el plano. El conjunto de líneas en el plano puede, en un sentido abstracto, pensarse como el conjunto de puntos en un plano proyectivo, el dual del plano original. La ecuación φ ( l , m ) = 0 entonces representa una curva en el plano dual.
Para una curva f ( x , y ) = 0 en el plano, las tangentes a la curva forman una curva en el espacio dual llamada curva dual . Si φ ( l , m ) = 0 es la ecuación de la curva dual, entonces se llama ecuación tangencial , para la curva original. Una ecuación dada φ ( l , m ) = 0 representa una curva en el plano original determinada como la envolvente de las líneas que satisfacen esta ecuación. De manera similar, si φ ( l , m , n ) es una función homogénea, entonces φ ( l , m , n ) = 0 representa una curva en el espacio dual dado en coordenadas homogéneas, y puede llamarse ecuación tangencial homogénea de la curva envuelta .
Las ecuaciones tangenciales son útiles en el estudio de curvas definidas como envolventes, al igual que las ecuaciones cartesianas son útiles en el estudio de curvas definidas como loci.
Ecuación tangencial de un punto
Una ecuación lineal en coordenadas de línea tiene la forma al + bm + c = 0, donde un , b y c son constantes. Suponga que ( l , m ) es una recta que satisface esta ecuación. Si c no es 0, entonces lx + mi + 1 = 0, donde x = un / c y y = b / c , por lo que cada línea que satisface la ecuación original pasa por el punto ( x , Y ). Por el contrario, cualquier recta que pasa por ( x , y ) satisface la ecuación original, por lo que al + bm + c = 0 es la ecuación del conjunto de rectas que pasa por ( x , y ). Para un punto dado ( x , y ), la ecuación del conjunto de líneas es lx + my + 1 = 0, por lo que esto puede definirse como la ecuación tangencial del punto. De manera similar, para un punto ( x , y , z ) dado en coordenadas homogéneas, la ecuación del punto en coordenadas tangenciales homogéneas es lx + my + nz = 0.
Fórmulas
La intersección de las rectas ( l 1 , m 1 ) y ( l 2 , m 2 ) es la solución de las ecuaciones lineales
Según la regla de Cramer , la solución es
Las rectas ( l 1 , m 1 ), ( l 2 , m 2 ) y ( l 3 , m 3 ) son concurrentes cuando el determinante
Para coordenadas homogéneas, la intersección de las líneas ( l 1 , m 1 , n 1 ) y ( l 2 , m 2 , n 2 ) es
Las líneas ( l 1 , m 1 , n 1 ), ( l 2 , m 2 , n 2 ) y ( l 3 , m 3 , n 3 ) son concurrentes cuando el determinante
Dualmente, las coordenadas de la línea que contiene ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) son
Líneas en el espacio tridimensional.
Para dos puntos dados en el plano proyectivo real , ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ), los tres determinantes
determinar la línea proyectiva que los contiene.
De manera similar, para dos puntos en RP 3 , ( x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 , w 2 ), la línea que los contiene está determinada por los seis determinantes
Esta es la base de un sistema de coordenadas lineales homogéneas en un espacio tridimensional llamado coordenadas de Plücker . Seis números en un conjunto de coordenadas solo representan una línea cuando satisfacen una ecuación adicional. Este sistema mapea el espacio de las líneas en el espacio tridimensional al espacio proyectivo RP 5 , pero con el requisito adicional, el espacio de las líneas corresponde a la cuadrícula de Klein , que es una variedad de dimensión cuatro.
De manera más general, las líneas en el espacio proyectivo n- dimensional están determinadas por un sistema de n ( n - 1) / 2 coordenadas homogéneas que satisfacen un conjunto de ( n - 2) ( n - 3) / 2 condiciones, lo que da como resultado una variedad de dimensión 2 ( n - 1).
Con números complejos
Isaak Yaglom ha demostrado [1] cómo los números duales proporcionan coordenadas para líneas orientadas en el plano euclidiano, y los números complejos divididos forman coordenadas de línea para el plano hiperbólico . Las coordenadas dependen de la presencia de un origen y una línea de referencia en él. Luego, dada una línea arbitraria, sus coordenadas se encuentran a partir de la intersección con la línea de referencia. Se utilizan la distancia s desde el origen a la intersección y el ángulo θ de inclinación entre las dos líneas:
- es el número dual [1] : 81 para una línea euclidiana, y
- es el número complejo dividido [1] : 118 para una línea en el plano de Lobachevski.
Dado que hay líneas ultraparalelas a la línea de referencia en el plano de Lobachevski, también necesitan coordenadas: hay una perpendicular común única , digamos que s es la distancia desde el origen a esta perpendicular, yd es la longitud del segmento entre la referencia y la perpendicular. línea dada.
- denota la línea ultraparalela. [1] : 118
Los movimientos de la geometría de la línea se describen con transformaciones fraccionarias lineales en los planos complejos apropiados. [1] : 87,123
Ver también
Referencias
- ^ a b c d e Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , Academic Press
- Baker, Henry Frederick (1923), Principios de geometría. Volumen 3. Geometría sólida. Cuadrículas, curvas cúbicas en el espacio, superficies cúbicas. , Colección de la Biblioteca de Cambridge, Cambridge University Press , pág. 56, ISBN 978-1-108-01779-4, MR 2857520. Reimpreso en 2010.
- Jones, Alfred Clement (1912). Introducción a la geometría algebraica . Letras gruesas a la media. pag. 390.