Las relaciones de Kramers-Kronig son relaciones matemáticas bidireccionales , que conectan las partes real e imaginaria de cualquier función compleja que sea analítica en el semiplano superior . Las relaciones se utilizan a menudo para calcular la parte real de la parte imaginaria (o viceversa) de las funciones de respuesta en los sistemas físicos , porque para los sistemas estables, la causalidad implica la condición de analiticidad y, a la inversa, la analiticidad implica la causalidad del sistema físico estable correspondiente. . [1] La relación lleva el nombre de Ralph Kronig yHans Kramers . [2] [3] En matemáticas , estas relaciones se conocen con los nombres de teorema de Sokhotski-Plemelj y transformada de Hilbert .
Formulación
Dejar ser una función compleja de la variable compleja , dónde y son reales . Suponga que esta función es analítica en el semiplano superior cerrado de y se desvanece más rápido que como . También son posibles condiciones ligeramente más débiles. Las relaciones Kramers-Kronig están dadas por
y
dónde denota el valor principal de Cauchy . Por tanto, las partes real e imaginaria de dicha función no son independientes, y la función completa se puede reconstruir con solo una de sus partes.
Derivación
La demostración comienza con una aplicación del teorema del residuo de Cauchy para la integración compleja. Dada cualquier función analítica en el semiplano superior cerrado, la función dónde es real también será analítico en la mitad superior del plano. En consecuencia, el teorema del residuo establece que
para cualquier contorno cerrado dentro de esta región. Elegimos el contorno para trazar el eje real, una joroba sobre el poste eny un gran semicírculo en el semicírculo superior. Luego descomponemos la integral en sus contribuciones a lo largo de cada uno de estos tres segmentos de contorno y los pasamos a los límites. La longitud del segmento semicircular aumenta proporcionalmente a, pero la integral sobre ella se desvanece en el límite porque desaparece más rápido que . Nos quedamos con los segmentos a lo largo del eje real y el semicírculo alrededor del poste. Pasamos el tamaño del semicírculo a cero y obtenemos
El segundo término de la última expresión se obtiene utilizando la teoría de los residuos, [4] más concretamente el teorema de Sokhotski-Plemelj . Reordenando, llegamos a la forma compacta de las relaciones Kramers-Kronig,
El soltero en el denominador efectuará la conexión entre los componentes real e imaginario. Finalmente, dividir y la ecuación en sus partes real e imaginaria para obtener las formas citadas anteriormente.
Interpretación física y forma alternativa
Podemos aplicar el formalismo de Kramers-Kronig a las funciones de respuesta . En ciertos sistemas físicos lineales, o en campos de la ingeniería como el procesamiento de señales , la función de respuesta describe cómo algunas propiedades dependientes del tiempo de un sistema físico responde a una fuerza de impulso en el momento Por ejemplo, podría ser el ángulo de un péndulo yla fuerza aplicada de un motor que impulsa el movimiento del péndulo. La respuesta debe ser cero para ya que un sistema no puede responder a una fuerza antes de que se aplique. Se puede demostrar (por ejemplo, invocando el teorema de Titchmarsh ) que esta condición de causalidad implica que la transformada de Fourier de es analítico en el semiplano superior. [5] Además, si sometemos el sistema a una fuerza oscilatoria con una frecuencia mucho más alta que su frecuencia de resonancia más alta, casi no habrá tiempo para que el sistema responda antes de que el forzamiento haya cambiado de dirección, por lo que la respuesta de frecuencia convergerá a cero cuando se vuelve muy grande. A partir de estas consideraciones físicas, vemos que normalmente satisfará las condiciones necesarias para que se apliquen las relaciones Kramers-Kronig.
La parte imaginaria de una función de respuesta describe cómo un sistema disipa energía , ya que está en fase con la fuerza impulsora . Las relaciones de Kramers-Kronig implican que observar la respuesta disipativa de un sistema es suficiente para determinar su respuesta fuera de fase (reactiva) y viceversa.
Las integrales van desde a , lo que implica que conocemos la respuesta a frecuencias negativas. Afortunadamente, en la mayoría de los sistemas físicos, la respuesta de frecuencia positiva determina la respuesta de frecuencia negativa porque es la transformada de Fourier de una respuesta de valor real . Haremos esta suposición de ahora en adelante.
Como consecuencia, . Esto significaes una función uniforme de la frecuencia yes extraño .
Usando estas propiedades, podemos colapsar los rangos de integración para . Considere la primera relación, que da la parte real. Transformamos la integral en una de paridad definida multiplicando el numerador y denominador del integrando por y separando:
Desde es impar, la segunda integral desaparece y nos quedamos con
La misma derivación para la parte imaginaria da
Estas son las relaciones de Kramers-Kronig en una forma que es útil para funciones de respuesta físicamente realistas.
Prueba relacionada del dominio del tiempo
Hu [6] y Hall y Heck [7] dan una prueba relacionada y posiblemente más intuitiva que evita la integración de contornos. Se basa en los hechos que:
- Una respuesta de impulso causal se puede expresar como la suma de una función par y una función impar, donde la función impar es la función par multiplicada por la función signum .
- Las partes pares e impares de una forma de onda en el dominio del tiempo corresponden a las partes real e imaginaria de su integral de Fourier, respectivamente.
- La multiplicación por la función signum en el dominio del tiempo corresponde a la transformada de Hilbert (es decir, la convolución por el núcleo de Hilbert) en el dominio de la frecuencia.
La combinación de las fórmulas proporcionadas por estos hechos produce las relaciones Kramers-Kronig. Esta demostración cubre un terreno ligeramente diferente al anterior en que relaciona las partes real e imaginaria en el dominio de la frecuencia de cualquier función que sea causal en el dominio del tiempo, ofreciendo un enfoque algo diferente de la condición de analiticidad en el semiplano superior de el dominio de la frecuencia.
También está disponible un artículo con una versión ilustrada e informal de esta prueba. [8]
Magnitud (ganancia) - relación de fase
La forma convencional de Kramers-Kronig anterior relaciona la parte real e imaginaria de una función de respuesta compleja. Un objetivo relacionado es encontrar una relación entre la magnitud y la fase de una función de respuesta compleja.
En general, desafortunadamente, la fase no se puede predecir de forma única a partir de la magnitud. [9] Un ejemplo simple de esto es un retardo de tiempo puro de tiempo T, que tiene amplitud 1 en cualquier frecuencia independientemente de T, pero tiene una fase dependiente de T (específicamente, fase = 2π × T × frecuencia).
Sin embargo, existe una relación única amplitud vs fase en el caso especial de un sistema de fase mínima , [9] a veces denominada relación de ganancia de Bode-fase . Los términos de relaciones Bayard-Bode y teorema Bayard-Bode , después de las obras de Marcel Bayard (1936) y Hendrik Wade Bode (1945) también se utilizan tanto para las relaciones Kramers-Kronig en general o de la relación de fase de amplitud, en particular, en particular en los campos de las telecomunicaciones y la teoría del control . [10] [11]
Aplicaciones en física
Índice de refracción complejo
Las relaciones de Kramers-Kronig se utilizan para relacionar las porciones real e imaginaria del índice de refracción complejo. de un medio, donde es el coeficiente de extinción . [12] Por lo tanto, en efecto, esto también se aplica a la permitividad relativa compleja y la susceptibilidad eléctrica . [13]
Actividad óptica
Las relaciones de Kramers-Kronig establecen una conexión entre la dispersión rotatoria óptica y el dicroísmo circular .
Magnetoóptica
Las relaciones Kramers-Kronig permiten soluciones exactas de problemas de dispersión no triviales, que encuentran aplicaciones en la magnetoóptica. [14]
Espectroscopía electrónica
En la espectroscopia de pérdida de energía de electrones , el análisis de Kramers-Kronig permite calcular la dependencia energética de las partes reales e imaginarias de la permitividad óptica de la luz de una muestra , junto con otras propiedades ópticas como el coeficiente de absorción y la reflectividad . [15]
En resumen, midiendo el número de electrones de alta energía (por ejemplo, 200 keV) que pierden una determinada cantidad de energía al atravesar una muestra muy delgada (aproximación de dispersión simple), se puede calcular la parte imaginaria de la permitividad a esa energía. Utilizando estos datos con el análisis de Kramers-Kronig, también se puede calcular la parte real de la permitividad (en función de la energía).
Esta medición se realiza con electrones, en lugar de con luz, y se puede realizar con una resolución espacial muy alta. Por lo tanto, uno podría buscar, por ejemplo, bandas de absorción ultravioleta (UV) en una muestra de laboratorio de polvo interestelar de menos de 100 nm de diámetro, es decir, demasiado pequeñas para la espectroscopia UV. Aunque la espectroscopia de electrones tiene una resolución de energía más pobre que la espectroscopia de luz , los datos sobre las propiedades en los rangos espectrales de rayos X visibles, ultravioleta y suaves pueden registrarse en el mismo experimento.
En la espectroscopia de fotoemisión resuelta en ángulo, las relaciones de Kramers-Kronig se pueden utilizar para vincular las partes real e imaginaria de la energía propia de los electrones . Esto es característico de las muchas interacciones corporales que experimenta el electrón en el material. Ejemplos notables son los superconductores de alta temperatura , donde se observan torceduras correspondientes a la parte real de la autoenergía en la dispersión de la banda y también se observan cambios en el ancho de MDC correspondientes a la parte imaginaria de la autoenergía. [dieciséis]
Dispersión hadrónica
Las relaciones de Kramers-Kronig también se utilizan bajo el nombre de "relaciones de dispersión integral" con referencia a la dispersión hadrónica . [17] En este caso, la función es la amplitud de dispersión. Mediante el uso del teorema óptico, la parte imaginaria de la amplitud de dispersión se relaciona con la sección transversal total , que es una cantidad medible físicamente.
Geofísica
Para la propagación de ondas sísmicas, la relación Kramer-Kronig ayuda a encontrar la forma correcta para el factor de calidad en un medio de atenuación. [18]
Ver también
- Dispersión (óptica)
- Función de respuesta lineal
- Continuación analítica numérica
Referencias
Citas
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Fuentes
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