El teorema Sokhotski-Plemelj (ortografía polaca es Sochocki ) es un teorema en análisis complejo , lo que ayuda en la evaluación de ciertas integrales. La versión en línea real ( ver más abajo ) se usa a menudo en física, aunque rara vez se menciona por su nombre. El teorema lleva el nombre de Julian Sochocki , que lo probó en 1868, y Josip Plemelj , que lo redescubrió como ingrediente principal de su solución del problema de Riemann-Hilbert en 1908.
Declaración del teorema
Sea C una curva simple cerrada suave en el plano, yuna función analítica en C . Tenga en cuenta que la integral de tipo Cauchy
no puede ser evaluada para cualquier z en la curva C . Sin embargo, en el interior y exterior de la curva, la integral produce funciones analíticas, que se denotarándentro de C yfuera de. Las fórmulas de Sokhotski-Plemelj relacionan los valores límite límite de estas dos funciones analíticas en un punto z en C y el valor principal de Cauchy de la integral:
Las generalizaciones posteriores relajan los requisitos de suavidad en la curva C y la función φ .
Versión para la línea real
Especialmente importante es la versión para integrales sobre la línea real.
Deje que f sea un complejo función -valued que se define y continuo en la línea real, y dejar que una y b sea constantes reales con. Luego
dónde denota el valor principal de Cauchy . (Tenga en cuenta que esta versión no hace uso de la analiticidad).
Una consecuencia particularmente importante de esto se obtiene al tomar f como la función delta de Dirac :
Prueba de la versión real
Una prueba simple es la siguiente.
Para el primer término, observamos que ε ⁄ π ( x 2 + ε 2 ) es una función delta naciente y, por lo tanto, se acerca a una función delta de Dirac en el límite. Por lo tanto, el primer término es igual a ∓ i π f (0).
Para el segundo término, observamos que el factor x 2 ⁄ ( x 2 + ε 2 ) se aproxima a 1 para | x| ≫ ε, se acerca a 0 para | x| ≪ ε, y es exactamente simétrica alrededor de 0. Por lo tanto, en el límite, convierte la integral en unaintegral devalor principal de Cauchy.
Para una prueba simple de la versión compleja de la fórmula y la versión para polidominios, consulte: Mohammed, Alip (febrero de 2007). "El problema de Riemann relacionado con el toro". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 326 (1): 533–555. doi : 10.1016 / j.jmaa.2006.03.011 .
Aplicación física
En la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos , a menudo hay que evaluar integrales de la forma
donde E es algo de energía yt es el tiempo. Esta expresión, como está escrita, no está definida (ya que la integral de tiempo no converge), por lo que generalmente se modifica agregando un coeficiente real negativo a t en el exponencial, y luego llevándolo a cero, es decir:
donde el último paso usa la versión real del teorema.
Ver también
- Operadores integrales singulares en curvas cerradas (explicación del teorema de Sokhotski-Plemelj para el círculo unitario y una curva de Jordan cerrada)
- Relaciones Kramers-Kronig
- Transformada de Hilbert
Referencias
- Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos, volumen 1: fundamentos . Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 0-521-55001-7. Capítulo 3.1.
- Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-88702-1. Apéndice A, ecuación (A.19).
- Henrici, Peter (1986). Análisis complejo aplicado y computacional, vol. 3 . Willey, John & Sons, Inc.
- Plemelj, Josip (1964). Problemas en el sentido de Riemann y Klein . Nueva York: Interscience Publishers.
- Gakhov, FD (1990), Problemas de valores de frontera. Reimpresión de la traducción de 1966 , Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-66275-6
- Muskhelishvili, NI (1949). Ecuaciones integrales singulares, problemas de límites de la teoría de funciones y su aplicación a la física matemática . Melbourne: Departamento de Suministro y Desarrollo, Laboratorios de Investigación Aeronáutica.
- Blanchard, Bruening: métodos matemáticos en física (Birkhauser 2003), ejemplo 3.3.1 4
- Sokhotskii, YW (1873). Sobre integrales definidas y funciones utilizadas en expansiones en serie . San Petersburgo.