En matemáticas , y más específicamente en teoría de anillos , el teorema de Krull , llamado así por Wolfgang Krull , afirma que un anillo distinto de cero [1] tiene al menos un ideal máximo . El teorema fue probado en 1929 por Krull, quien utilizó la inducción transfinita . El teorema admite una demostración simple usando el lema de Zorn , y de hecho es equivalente al lema de Zorn , [2] que a su vez es equivalente al axioma de elección .
Variantes
- Para los anillos no conmutativos , los análogos de los ideales máximos de la izquierda y los ideales máximos de la derecha también son válidos.
- Para pseudo-anillos , el teorema es válido para ideales regulares .
- Un resultado ligeramente más fuerte (pero equivalente), que puede probarse de manera similar, es el siguiente:
- Deje que R sea un anillo, y dejar que sea un ideales adecuada de R . Entonces hay un máximo ideal de R que contiene I .
- Este resultado implica el teorema original, al tomar I como el ideal cero (0). Por el contrario, aplicar el teorema original a R / I conduce a este resultado.
- Para probar el resultado más fuerte directamente, considerar el conjunto S de todos los ideales propios de R que contienen I . El conjunto S es no vacío, ya que ∈ S . Además, para cualquier cadena T de S , la unión de las ideales en T es un ideal J , y una unión de ideales no contienen 1 no contiene 1, por lo J ∈ S . Por el Lema de Zorn, S tiene un elemento maximal M . Esta M es un ideal maximal que contiene I .
Hauptidealsatz de Krull
Otro teorema comúnmente conocido como teorema de Krull:
- Dejar ser un anillo noetheriano y un elemento de que no es un divisor de cero ni una unidad . Entonces, cada ideal de primer mínimo conteniendo tiene altura 1.
Notas
- ^ En este artículo, los anillos tienen un 1.
- ^ Hodges, W. (1979). "Krull implica a Zorn". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . s2-19 (2): 285-287. doi : 10.1112 / jlms / s2-19.2.285 .
Referencias
- Krull, W. (1929). "Idealtheorie en Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen". Mathematische Annalen . 101 (1): 729–744. doi : 10.1007 / BF01454872 .
- Hodges, W. (1979). "Krull implica a Zorn". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . s2-19 (2): 285-287. doi : 10.1112 / jlms / s2-19.2.285 .