En geometría algebraica , una superficie cuártica de Kummer , estudiada por primera vez por Ernst Kummer ( 1864 ), es una superficie nodal irreducible de grado 4 encon el máximo número posible de 16 puntos dobles. Cualquier superficie de este tipo es la variedad Kummer de la variedad jacobiana de una curva hiperelíptica suave del género 2; es decir, un cociente del jacobiano por la involución de Kummer x ↦ - x . La involución de Kummer tiene 16 puntos fijos: los 16 puntos de torsión 2 del jacobiano, y son los 16 puntos singulares de la superficie cuártica. Resolver los 16 puntos dobles del cociente de un toro (posiblemente no algebraico) por la involución de Kummer da una superficie K3 con 16 curvas racionales disjuntas; estas superficies K3 también se denominan a veces superficies Kummer.
Otras superficies estrechamente relacionadas con las superficies de Kummer incluyen superficies Weddle , superficies onduladas y tetraedroides .
Geometría de la superficie de Kummer
Superficies cuarticas singulares y el modelo de doble plano
Dejar ser una superficie cuártica con un punto doble ordinario p , cerca del cual K parece un cono cuadrático. Cualquier línea proyectiva que pase por p se encuentra con K con multiplicidad dos en p y, por lo tanto, se encontrará con el K cuártico en solo otros dos puntos. Identificando las líneas ena través del punto p con, obtenemos una doble cobertura de la explosión de K en p para; esta doble cobertura se da enviando q ≠ p ↦ , y cualquier recta en el cono tangente de p en K a sí misma. El locus ramificación de la doble cubierta es una curva plana C de grado 6, y todos los nodos de K que no son p mapa para nodos de C .
Por la fórmula de grado de género , el número máximo posible de nodos en una curva séxtica se obtiene cuando la curva es una unión delíneas, en cuyo caso tenemos 15 nodos. Por lo tanto, el número máximo de nodos en un cuártico es 16, y en este caso todos son nodos simples (para mostrar quees un proyecto simple de otro nodo). Un cuartico que obtiene estos 16 nodos se denomina cuartico de Kummer, y nos concentraremos en ellos a continuación.
Desde es un nodo simple, el cono tangente a este punto se asigna a una cónica debajo de la doble cubierta. Esta cónica es de hecho tangente a las seis líneas (prueba wo). Por el contrario, dada una configuración de una cónica y seis líneas tangentes a ella en el plano, podemos definir la doble cobertura del plano ramificado sobre la unión de estas 6 líneas. Esta doble cubierta se puede asignar a, debajo de un mapa que derriba la doble cubierta de la cónica especial, y hay un isomorfismo en otra parte (prueba de dos).
Las variedades de doble plano y Kummer de los jacobianos
Partiendo de una curva suave del género 2, podemos identificar el jacobiano con debajo del mapa . Ahora observamos dos hechos: dado quees una curva hiperelíptica el mapa del producto simétrico a , definido por , es el descenso de la gráfica de la involución hiperelíptica a la clase de divisor canónico . Además, el mapa canónicoes una doble tapa. De ahí obtenemos una doble portada.
Esta doble portada es la que ya apareció arriba: Las 6 líneas son las imágenes de los divisores theta simétricos impares en, mientras que la cónica es la imagen del 0 expandido. La cónica es isomorfa al sistema canónico a través del isomorfismo , y cada una de las seis líneas es naturalmente isomorfa al sistema canónico dual a través de la identificación de los divisores theta y se traduce de la curva . Existe una correspondencia 1-1 entre pares de divisores theta simétricos impares y puntos de torsión 2 en el jacobiano dada por el hecho de que, dónde son puntos de Weierstrass (que son las características extrañas theta en esto en el género 2). De ahí los puntos de ramificación del mapa canónico. aparecen en cada una de estas copias del sistema canónico como los puntos de intersección de las líneas y los puntos de tangencia de las líneas y la cónica.
Finalmente, dado que sabemos que cada cuartico de Kummer es una variedad de Kummer de un jacobiano de curva hiperelíptica, mostramos cómo reconstruir la superficie del cuartico de Kummer directamente a partir del jacobiano de una curva de género 2: El jacobiano de mapas para el sistema lineal completo (ver el artículo sobre variedades abelianas ). Este mapa se factoriza a través de la variedad Kummer como un mapa de grado 4 que tiene 16 nodos en las imágenes de los 2 puntos de torsión en.
El complejo de la línea cuádruple
Estructura de nivel 2
De Kummer configuración
Hay varios puntos cruciales que relacionan los aspectos geométricos, algebraicos y combinatorios de la configuración de los nodos del cuartico kummer:
- Cualquier divisor theta simétrico impar en viene dado por los puntos de ajuste , donde w es un punto de Weierstrass en . Este divisor theta contiene seis puntos de 2 torsión: tal que es un punto de Weierstrass.
- Dos divisores theta impares dados por puntos Weierstrass intersecar en y en .
- La traslación del jacobiano por dos puntos de torsión es un isomorfismo del jacobiano como una superficie algebraica, que mapea el conjunto de 2 puntos de torsión a sí mismo.
- En el sistema lineal completo en , cualquier divisor theta impar se asigna a una cónica, que es la intersección del cuartico de Kummer con un plano. Además, este sistema lineal completo es invariante bajo cambios de 2 puntos de torsión.
Por tanto, tenemos una configuración de cónicas en ; donde cada uno contiene 6 nodos, y tal que la intersección de cada dos es a lo largo de 2 nodos. Esta configuración se llamaconfiguración o la configuración de Kummer .
El maridaje de Weil
Los 2 puntos de torsión en una variedad abeliana admiten una forma bilineal simpléctica llamada emparejamiento de Weil. En el caso de los jacobianos de curvas del género dos, cada punto de torsión 2 no trivial se expresa de forma única como una diferencia entre dos de los seis puntos Weierstrass de la curva. El emparejamiento de Weil viene dado en este caso por. Se pueden recuperar muchos de los invariantes teóricos de grupo del grupo a través de la geometría del configuración.
Teoría de grupos, álgebra y geometría
A continuación se muestra una lista de invariantes teóricos de grupos y su encarnación geométrica en la configuración 16 6 .
- Líneas polares
- Complejos apolares
- Configuración de Klein
- Cuadrículas fundamentales
- Tetraedros fundamentales
- Tétradas de Rosenhain
- Adolph Göpel 1812-1847
Referencias
- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Dolgachev, Igor (2012), Geometría algebraica clásica. Una visión moderna , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8, MR 2964027
- Hudson, RWHT (1990), superficie cuártica de Kummer , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39790-2, MR 1097176
- Kummer, Ernst Eduard (1864), "Über die Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten", Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 246-260Reimpreso en ( Kummer 1975 )
- Kummer, Ernst Eduard (1975), Collected Papers: Volume 2: Function Theory, Geometry, and Miscellaneous , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06836-7, MR 0465761
- Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Kummer_surface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Superficie Kummer ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .