En la teoría de la probabilidad , el teorema de continuidad de Lévy , o el teorema de convergencia de Lévy , [1] llamado así por el matemático francés Paul Lévy , conecta la convergencia en la distribución de la secuencia de variables aleatorias con la convergencia puntual de sus funciones características . Este teorema es la base de un enfoque para demostrar el teorema del límite central y es uno de los principales teoremas relacionados con las funciones características.
Supongamos que tenemos
- una secuencia de variables aleatorias , no necesariamente compartiendo un espacio de probabilidad común ,
- la secuencia de funciones características correspondientes , que por definición son
dónde es el operador de valor esperado .
Si la secuencia de funciones características converge puntualmente a alguna función
entonces las siguientes declaraciones se vuelven equivalentes:
- converge en distribución a alguna variable aleatoria X
es decir, las funciones de distribución acumulada correspondientes a variables aleatorias convergen en cada punto de continuidad de la CDF de X ; - está apretado :
- es una función característica de alguna variable aleatoria X ;
- es una función continua de t ;
- es continuo en t = 0.
Se dispone de pruebas rigurosas de este teorema. [1] [2]