En matemáticas , la hermeticidad es un concepto en la teoría de la medida . La idea intuitiva es que una determinada colección de medidas no "escapa al infinito ".
Definiciones
Dejar ser un espacio de Hausdorff , y dejarser un σ-álgebra en que contiene la topología . (Por lo tanto, cada subconjunto abierto dees un conjunto medible yes al menos tan fina como la σ-álgebra de Borel en.) Dejar ser una colección de medidas (posiblemente firmadas o complejas ) definidas en. La colecciónse llama apretado (oa veces uniformemente apretado ) si, por cualquier, hay un subconjunto compacto de tal que, para todas las medidas ,
dónde es la medida de variación total de. Muy a menudo, las medidas en cuestión son medidas de probabilidad , por lo que la última parte se puede escribir como
Si una colección apretada consta de una sola medida , luego (dependiendo del autor) puede decirse que es una medida estricta o una medida regular interna .
Si es un variable aleatoria valorada cuya distribución de probabilidad en es una medida ajustada entonces se dice que es una variable aleatoria separable o una variable aleatoria Radon .
Ejemplos de
Espacios compactos
Si es un espacio compacto que se puede medir , entonces cada colección de medidas (posiblemente complejas) enEs ajustado. Esto no es necesariamente así para espacios compactos no medibles. Si tomamoscon su topología de orden , entonces existe una medidaen él que no es interior regular. Por lo tanto, el singleton no es apretado.
Espacios polacos
Si es un espacio polaco compacto , entonces cada medida de probabilidad enEs ajustado. Además, según el teorema de Prokhorov , una colección de medidas de probabilidad sobrees ajustado si y solo si es precompacto en la topología de convergencia débil .
Una colección de masas puntuales
Considere la línea real con su topología Borel habitual. Dejardenotar la medida de Dirac , una unidad de masa en el punto en . La colección
no es apretado, ya que los subconjuntos compactos de son precisamente los subconjuntos cerrados y acotados , y cualquier conjunto de este tipo, dado que está acotado, tiene-medida cero para lo suficientemente grande . Por otro lado, la colección
es apretado: el intervalo compacto funcionará como para cualquier . En general, una colección de medidas delta de Dirac enes estrecho si, y solo si, el conjunto de sus soportes está acotado.
Una colección de medidas gaussianas
Considerar -espacio euclidiano dimensional con su topología Borel habitual y σ-álgebra. Considere una colección de medidas gaussianas
donde la medida tiene valor esperado ( media )y matriz de covarianza . Entonces la colección es ajustado si, y solo si, las colecciones y ambos están delimitados.
Estanqueidad y convergencia
La estanqueidad es a menudo un criterio necesario para probar la convergencia débil de una secuencia de medidas de probabilidad, especialmente cuando el espacio de medida tiene una dimensión infinita . Ver
Estanqueidad exponencial
Un fortalecimiento de la estanqueidad es el concepto de estanqueidad exponencial, que tiene aplicaciones en la teoría de grandes desviaciones . Una familia de medidas de probabilidad en un espacio topológico de Hausdorffse dice que es exponencialmente ajustado si, para cualquier, hay un subconjunto compacto de tal que
Referencias
- Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
- Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
- Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. págs. xii + 480. ISBN 3-540-52013-9. SEÑOR1102015 (Ver capítulo 2)