En matemáticas , el teorema de Lüroth afirma que cada campo que se encuentra entre otros dos campos K y K ( X ) debe ser generado como una extensión de K por un solo elemento de K ( X ). Este resultado lleva el nombre de Jacob Lüroth , quien lo demostró en 1876. [1]
Declaración
Dejar ser un campo y ser un campo intermedio entre y , para alguna X indeterminada . Entonces existe una función racional tal que . En otras palabras, toda extensión intermedia entre y es una simple extensión .
Pruebas
La demostración del teorema de Lüroth se puede derivar fácilmente de la teoría de curvas racionales , utilizando el género geométrico . [2] Este método no es elemental, pero desde hace mucho tiempo se conocen varias demostraciones breves que utilizan solo los conceptos básicos de la teoría de campo . Muchas de estas simples demostraciones utilizan el lema de Gauss sobre polinomios primitivos como paso principal. [3]
Referencias
- ^ Burau, Werner (2008), "Lueroth (o Lüroth), Jakob", Diccionario completo de biografía científica
- ^ Cohn, PM (1991), Números algebraicos y funciones algebraicas , Serie de matemáticas Chapman Hall / CRC, 4 , CRC Press, p. 148, ISBN 9780412361906.
- ^ Por ejemplo, ver Minas, Ray; Richman, Fred (1988), Un curso de álgebra constructiva , Universitext, Springer, p. 148, ISBN 9780387966403.