En álgebra , el lema de Gauss , [1] llamado así por Carl Friedrich Gauss , es un enunciado sobre polinomios sobre los enteros o, más generalmente, sobre un dominio de factorización único (es decir, un anillo que tiene una propiedad de factorización única similar a la fundamental teorema de la aritmética ). El lema de Gauss es la base de toda la teoría de la factorización y los máximos divisores comunes de tales polinomios.
El lema de Gauss afirma que el producto de dos polinomios primitivos es primitivo (un polinomio con coeficientes enteros es primitivo si tiene 1 como máximo común divisor de sus coeficientes).
Un corolario del lema de Gauss, a veces también llamado lema de Gauss , es que un polinomio primitivo es irreductible sobre los números enteros si y solo si es irreductible sobre los números racionales . De manera más general, un polinomio primitivo tiene la misma factorización completa sobre los números enteros y sobre los números racionales. En el caso de coeficientes en un dominio de factorización único R , los "números racionales" deben reemplazarse por " campo de fracciones de R ". Esto implica que, si R es un campo , el anillo de números enteros o un dominio de factorización único, entonces cada anillo polinomial (en uno o varios indeterminados) sobre R es un dominio de factorización único. Otra consecuencia es que la factorización y el cálculo del máximo común divisor de polinomios con números enteros o coeficientes racionales pueden reducirse a cálculos similares en números enteros y polinomios primitivos. Esto se usa sistemáticamente (explícita o implícitamente) en todos los algoritmos implementados (ver Máximo común divisor de polinomios y Factorización de polinomios ).
El lema de Gauss y todas sus consecuencias que no implican la existencia de una factorización completa permanecen verdaderas sobre cualquier dominio de GCD (un dominio integral sobre el cual existen los máximos divisores comunes). En particular, un anillo polinomial sobre un dominio GCD también es un dominio GCD. Si uno llama primitivo un polinomio tal que los coeficientes generan la unidad ideal , el lema de Gauss es verdadero sobre cada anillo conmutativo . [2] Sin embargo, se debe tener cuidado al usar esta definición de primitivo , ya que, sobre un dominio de factorización único que no es un dominio ideal principal , hay polinomios que son primitivos en el sentido anterior y no primitivos en este nuevo sentido. .
El lema sobre los enteros
Si es un polinomio con coeficientes enteros, entonces se llama primitivo si el máximo común divisor de todos los coeficienteses 1; en otras palabras, ningún número primo divide todos los coeficientes.
Lema de Gauss (primitividad) : si P y Q son polinomios primitivos sobre los números enteros, entonces el producto PQ también es primitivo.
Prueba: Claramente el producto f ( x ). g ( x ) de dos polinomios primitivos tiene coeficientes enteros. Por lo tanto, si no es primitivo, debe haber un primo p que sea un divisor común de todos sus coeficientes. Pero p no puede dividir todos los coeficientes de f ( x ) o g ( x ) (de lo contrario, no serían primitivos). Sea a r x r el primer término de f ( x ) no divisible por py sea b s x s el primer término de g ( x ) no divisible por p . Ahora considere el término x r + s en el producto. Su coeficiente debe tomar la forma:
El primer término no es divisible por p (porque p es primo), pero todos los demás lo son, por lo que la suma completa no puede ser divisible por p . Suponiendo que todos los coeficientes del producto son divisibles por p , lo que conduce a una contradicción. Por tanto, los coeficientes del producto no pueden tener divisor común y, por tanto, son primitivos.
Lema de Gauss (irreductibilidad) - Un polinomio no constante en Z [ X ] es irreducible en Z [ X ] si y solo si es irreductible en Q [ X ] y primitivo en Z [ X ].
La prueba se da a continuación para el caso más general. Tenga en cuenta que un elemento irreducible de Z (un número primo) sigue siendo irreducible cuando se ve como polinomio constante en Z [ X ]; esto explica la necesidad de "no constante" en la declaración.
Declaraciones para dominios de factorización únicos
El lema de Gauss se aplica de manera más general a dominios de factorización únicos arbitrarios . Allí, el contenido c ( P ) de un polinomio P se puede definir como el máximo común divisor de los coeficientes de P (como el mcd, el contenido es en realidad un conjunto de elementos asociados ). Un polinomio P con coeficientes en una UFD se dice entonces que es primitivo si los únicos elementos de R que dividen todos los coeficientes de P a la vez son los elementos invertibles de R ; es decir, el mcd de los coeficientes es uno.
Enunciado de primitividad: si R es un UFD, entonces el conjunto de polinomios primitivos en R [ X ] se cierra mediante multiplicación. De manera más general, el contenido de un producto de polinomios es el producto de sus contenidos individuales.
Enunciado de irreductibilidad: Sea R un dominio de factorización único y F su campo de fracciones . Un polinomio no constante en es irreductible en si y solo si es irreductible en y primitivo en .
(Para ver las pruebas, consulte la versión #General a continuación).
Dejar ser un dominio de factorización único con campo de fracciones . Si es un polinomio sobre , entonces, para algunos , tiene coeficientes en y así, factorizando el gcd de los coeficientes, podemos escribir: para algún polinomio primitivo . Como se puede comprobar, este polinomioes único hasta la multiplicación por un elemento unitario y se denomina parte primitiva (o representante primitivo ) de y se denota por . El procedimiento es compatible con el producto:.
La construcción se puede utilizar para mostrar la declaración:
- Un anillo polinomial sobre un UFD es un UFD.
De hecho, por inducción, es suficiente mostrar es un UFD cuando es una UFD. Dejarser un polinomio distinto de cero. Ahora, es un dominio de factorización único (ya que es un dominio ideal principal) y, por lo tanto, como polinomio en , se puede factorizar como:
dónde son polinomios irreducibles de . Ahora escribimos para el gcd de los coeficientes de (y es la parte primitiva) y luego:
Ahora, es un producto de los elementos principales de (desde es un UFD) y un elemento principal de es un elemento primordial de , como es un dominio integral. Por eso,admite una factorización prima (o una factorización única en irreducibles). A continuación, observe que es una factorización única en elementos irreductibles de , como (1) cada es irreducible por el enunciado de irreductibilidad y (2) es único ya que la factorización de también puede verse como una factorización en y la factorización es única. Desde están determinados únicamente por , hasta elementos unitarios, la factorización anterior de es una factorización única en elementos irreductibles.
La condición de que " R es un dominio de factorización único" no es superflua porque implica que cada elemento irreducible de este anillo es también un elemento primo , lo que a su vez implica que cada elemento distinto de cero de R tiene como máximo una factorización en un producto de irreducible elementos y una unidad a la orden y relación de asociación. En un anillo donde la factorización no es única, digamos pa = qb con p y q elementos irreducibles que no dividen ninguno de los factores del otro lado, el producto ( p + qX ) ( a + qX ) = pa + ( p + a ) qX + q 2 X 2 = q ( b + ( p + a ) X + qX 2 ) muestra el fallo de la declaración de primitividad. Para un ejemplo concreto, se puede tomar R = Z [ i √ 5 ] , p = 1 + i √ 5 , a = 1 - i √ 5 , q = 2 , b = 3 . En este ejemplo, el polinomio 3 + 2X + 2X 2 (obtenido al dividir el lado derecho por q = 2 ) proporciona un ejemplo del fracaso del enunciado de irreductibilidad (es irreductible sobre R , pero reducible sobre su campo de fracciones Q [ i √ 5 ] ). Otro ejemplo bien conocido es el polinomio X 2 - X - 1 , cuyas raíces son la proporción áurea φ = ( 1 + √ 5 ) / 2 y su conjugado ( 1 - √ 5 ) / 2 mostrando que es reducible sobre el campo Q [√ 5 ] , aunque es irreducible sobre el Z [√ 5 ] no UFD que tiene Q [√ 5 ] como campo de fracciones. En el último ejemplo, el anillo se puede convertir en un UFD tomando su cierre integral Z [φ] en Q [√ 5 ] (el anillo de los enteros de Dirichlet), sobre el cual X 2 - X - 1 se vuelve reducible, pero en el primero ejemplo R ya está integralmente cerrado.
Versión general
Dejar ser un anillo conmutativo. Si es un polinomio en , luego escribimos por el ideal de generado por todos los coeficientes de ; se llama el contenido de. Tenga en cuenta que para cada . La siguiente proposición establece una propiedad más sustancial.
Proposición [3] - Para cada par de polinomios en ,
dónde denota el radical de un ideal . Además, si es un dominio GCD (p. ej., un dominio de factorización único), entonces
dónde denota el ideal principal mínimo único que contiene un ideal finitamente generado . [nota 1]
Un polinomio se dice que es primitivo sies la unidad ideal. [4] Cuando(o más generalmente un dominio de Bézout ), esto concuerda con la definición habitual de un polinomio primitivo. (Pero sies solo un UFD, esta definición es inconsistente con la definición de primitividad en #Statements para dominios de factorización únicos ).
Corolario [2] : dos polinomios son primitivos si y solo si el producto es primitivo.
Prueba: esto es fácil usando el hecho [5] de que implica
Corolario [6] - Supongamos es un dominio GCD (por ejemplo, un dominio de factorización único) con el campo de fracciones . Entonces un polinomio no constante en es irreductible si y solo si es irreductible en y el mcd de los coeficientes de es 1.
Prueba: () En primer lugar, observe que el mcd de los coeficientes de es 1 ya que, de lo contrario, podemos factorizar algún elemento a partir de los coeficientes de escribir , contradiciendo la irreductibilidad de . A continuación, suponga para algunos polinomios no constantes en . Entonces, para algunos, el polinomio tiene coeficientes en y así, factorizando el gcd de los coeficientes, escribimos . Haz lo mismo por y podemos escribir para algunos . Ahora deja para algunos . Luego. De esto, usando la proposición, obtenemos:
- .
Es decir, divide . Por lo tanto, y luego la factorización constituye una contradicción a la irreductibilidad de .
() Si es irreductible sobre , entonces o es irreductible sobre o contiene un polinomio constante como factor, el supuesto descarta la segunda posibilidad.
Prueba de la propuesta: Claramente,. Si es un ideal primordial que contiene , luego modulo . Desde es un anillo polinomial sobre un dominio integral y, por lo tanto, es un dominio integral, esto implica que o modulo . Por lo tanto, o o está contenido en . Desde es la intersección de todos los ideales primarios que contienen y la elección de fue arbitrario, .
Ahora probamos la parte "además". Factorizando los mcd de los coeficientes, podemos escribir y donde los mcd de los coeficientes de son ambos 1. Claramente, basta con probar la afirmación cuando son reemplazados por ; por lo tanto, asumimos los mcd de los coeficientes de son ambos 1. El resto de la prueba es fácil y transparente si es un dominio de factorización único; por lo tanto, damos la prueba en ese caso aquí (y vea la [nota 2] para la prueba del caso GCD). Si, entonces no hay nada que probar. Entonces, asuma lo contrario; entonces hay un elemento no unitario que divide los coeficientes de. Factorizando ese elemento en un producto de elementos primos, podemos tomar ese elemento como un elemento primo. Ahora tenemos:
- .
Por lo tanto, ya sea contiene o ; contradiciendo los mcd de los coeficientes de son ambos 1.
- Observación : sobre un dominio MCD (por ejemplo, un dominio de factorización único), el mcd de todos los coeficientes de un polinomio, único hasta los elementos de la unidad, también se denomina contenido de .
Aplicaciones
Se deduce del lema de Gauss que para cada dominio de factorización único , el anillo polinomial es también un dominio de factorización único (ver #Statements para dominios de factorización únicos ). El lema de Gauss también se puede utilizar para mostrar el criterio de irreductibilidad de Eisenstein . Finalmente, se puede utilizar para demostrar que los polinomios ciclotómicos (unidades unitarias con coeficientes enteros) son irreducibles.
El lema de Gauss implica la siguiente declaración:
- Si es un polinomio monico en una variable con coeficientes en un dominio de factorización único (o más generalmente un dominio GCD), luego una raíz de que esta en el campo de las fracciones de es en . [nota 3]
Si , entonces dice que una raíz racional de un polinomio mónico sobre números enteros es un número entero (cf. el teorema de la raíz racional ). Para ver la declaración, dejemos ser una raíz de en y asumir son relativamente de primera. En, podemos escribir con para algunos . Luego
- ,
es una factorización en . Pero es primitivo (en el sentido de UFD) y por lo tanto divide los coeficientes de por el lema de Gauss y así
- ,
con en . Desde es monica, esto es posible solo cuando es una unidad.
Un argumento similar muestra:
- Dejar ser un dominio GCD con el campo de fracciones y . Si para algún polinomio que es primitivo en el sentido de UFD y , luego .
El enunciado de irreductibilidad también implica que el polinomio mínimo sobre los números racionales de un entero algebraico tiene coeficientes enteros.
notas y referencias
- ^ Un generador del ideal principal es un mcd de algunos generadores de I (y existe porque es un dominio GCD).
- ^ Prueba para el caso GCD : La prueba aquí es adoptada de Mines, R .; Richman, F .; Ruitenburg, W. (1988). Un curso de álgebra constructiva . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96640-4. Necesitamos el siguiente lema simple sobre gcd:
- Si , luego .
- .
- ^ En otras palabras, dice que un dominio de factorización único está integralmente cerrado .
- ^ Artículo 42 de Carl Friedrich Gauss 's Disquisitiones Arithmeticae (1801)
- ↑ a b Atiyah y MacDonald , Cap. 1., Ejercicio 2. (iv) y Ejercicio 3.
- ^ Eisenbud , ejercicio 3.4. (a)
- ^ Atiyah y MacDonald , Cap. 1., Ejercicio 2. (iv )
- ^ Atiyah y MacDonald , Cap. 1., Ejercicio 1.13.
- ^ Eisenbud , ejercicio 3.4.c; El caso cuando R es un UFD.
- Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, Señor 1322960 , ISBN 978-0-387-94269-8