En geometría algebraica , el género geométrico es un invariante biracional básico p g de variedades algebraicas y variedades complejas .
Definición
El género geométrico se puede definir para variedades proyectivas complejas no singulares y más generalmente para variedades complejas como el número de Hodge h n , 0 (igual ah 0, n por dualidad de Serre ), es decir, la dimensión del sistema lineal canónico más uno.
En otras palabras para una variedad V de dimensión compleja n es el número de linealmente independientes holomórficas n - formas que se encuentran en V . [1] Esta definición, como dimensión de
- H 0 ( V , Ω n )
luego se traslada a cualquier campo base , cuando Ω se toma como el haz de diferenciales de Kähler y la potencia es la potencia exterior (superior) , el haz de líneas canónicas .
El género geométrico es el primer invariante p g = P 1 de una secuencia de invariantes P n llamada plurigenera .
Caso de curvas
En el caso de variedades complejas, (los lugares complejos de) curvas no singulares son superficies de Riemann . La definición algebraica de género concuerda con la noción topológica . En una curva no singular, el haz de líneas canónicas tiene un grado 2 g - 2 .
La noción de género ocupa un lugar destacado en el enunciado del teorema de Riemann-Roch (véase también el teorema de Riemann-Roch para las curvas algebraicas ) y de la fórmula de Riemann-Hurwitz . Según el teorema de Riemann-Roch, una curva plana irreducible de grado d tiene género geométrico
donde s es el número de singularidades cuando se cuentan correctamente
Si C es una hipersuperficie irreductible (y lisa) en el plano proyectivo recortada por una ecuación polinomial de grado d , entonces su haz de líneas normal es el haz de torsión de Serre. ( d ) , por lo que por la fórmula adjunta , el conjunto de líneas canónicas de C viene dado por
Género de variedades singulares
La definición de género geométrico se traslada clásicamente a las curvas singulares C , al decretar que
- p g ( C )
es el género geométrico de la normalización C ′ . Es decir, dado que el mapeo
- C ′ → C
es biracional , la definición se amplía mediante invariancia biracional.
Ver también
Notas
Referencias
- P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interscience. pag. 494. ISBN 0-471-05059-8.
- VI Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Curvas algebraicas, variedades algebraicas y esquemas . Saltador. ISBN 978-3-540-63705-9.