En la teoría de campos , una extensión simple es una extensión de campo que se genera mediante la adjunción de un solo elemento. Las extensiones simples se entienden bien y se pueden clasificar completamente.
El teorema del elemento primitivo proporciona una caracterización de las extensiones simples finitas .
Definición
Una extensión de campo L / K se denomina extensión simple si existe un elemento θ en L con
El elemento θ se denomina elemento primitivo , o elemento generador , para la extensión; también decimos que L se genera sobre K por θ .
Todo campo finito es una simple extensión del campo principal de la misma característica . Más precisamente, si p es un número primo y el campo de q elementos es una simple extensión del grado d deEsto significa que es generado por un elemento θ que es raíz de un polinomio irreducible de grado d . Sin embargo, en este caso, normalmente no se hace referencia a θ como un elemento primitivo , aunque se ajusta a la definición dada en el párrafo anterior.
La razón es que en el caso de campos finitos, existe una definición competitiva de elemento primitivo. De hecho, un elemento primitivo de un campo finito generalmente se define como un generador del grupo multiplicativo del campo . Más precisamente, por el teorema de Fermat poco , los elementos distintos de cero de(es decir, su grupo multiplicativo ) son las raíces de la ecuación
que son las ( q −1) -ésimas raíces de la unidad . Por lo tanto, en este contexto, un elemento primitivo es una raíz primitiva ( q −1) -ésima de la unidad , que es un generador del grupo multiplicativo de los elementos distintos de cero del campo. Claramente, un elemento primitivo de grupo es un elemento primitivo de campo, pero lo contrario es falso.
Por tanto, la definición general requiere que cada elemento del campo pueda expresarse como un polinomio en el generador, mientras que, en el ámbito de los campos finitos, todo elemento distinto de cero del campo es una potencia pura del elemento primitivo. Para distinguir estos significados, se puede usar el elemento primitivo de campo de L sobre K para la noción general, y el elemento primitivo de grupo para la noción de campo finito. [1]
Estructura de extensiones simples
Si L es una extensión simple de K generada por θ, entonces es el campo más pequeño que contiene tanto K como θ . Esto significa que cada elemento de L puede obtenerse de los elementos de K y θ mediante un número finito de operaciones de campo (suma, resta, multiplicación y división).
Considere el anillo polinomial K [ X ]. Una de sus principales propiedades es que existe un homomorfismo de anillo único.
Pueden ocurrir dos casos.
Si es inyectiva , puede extenderse al campo de las fracciones K ( X ) de K [ X ]. Como hemos supuesto que L es generado por θ , esto implica quees un isomorfismo de K ( X ) en L . Esto implica que cada elemento de L es igual a una fracción irreductible de polinomios en θ , y que dos de esas fracciones irreducibles son iguales si y solo si una puede pasar de una a la otra multiplicando el numerador y el denominador por el mismo valor distinto de cero. elemento de K .
Si no es inyectiva, sea p (X) un generador de su núcleo , que es, por tanto, el polinomio mínimo de θ . La imagen dees un subanillo de L y, por tanto, un dominio integral . Esto implica que p es un polinomio irreducible y, por tanto, que el anillo del cociente es un campo. Como L es generado por θ ,es sobreyectiva , yinduce un isomorfismo deen L . Esto implica que cada elemento de L es igual a un polinomio único en θ , de grado menor que el grado de extensión.
Ejemplos de
- C : R (generado por i )
- Q (): Q (generado por), de manera más general, cualquier campo numérico (es decir, una extensión finita de Q ) es una extensión simple Q ( α ) para algún α . Por ejemplo, es generado por .
- F ( X ): F (generado por X ).
Referencias
- ↑ ( Roman 1995 )
- Roman, Steven (1995). Teoría de campo . Textos de Posgrado en Matemáticas . 158 . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94408-7. Zbl 0816.12001 .