En matemáticas , los números de Lagrange son una secuencia de números que aparecen en límites relacionados con la aproximación de números irracionales por números racionales . Están relacionados con el teorema de Hurwitz .
Hurwitz mejoró el criterio de irracionalidad de Peter Gustav Lejeune Dirichlet al afirmar que un número real α es irracional si y solo si hay infinitos números racionales p / q , escritos en términos mínimos, tales que
Esto fue una mejora en el resultado de Dirichlet que tenía 1/ q 2 en el lado derecho. El resultado anterior es el mejor posible ya que la proporción áurea φ es irracional, pero si reemplazamos √ 5 por cualquier número mayor en la expresión anterior, solo podremos encontrar un número finito de números racionales que satisfagan la desigualdad para α = φ.
Sin embargo, Hurwitz también demostró que si omitimos el número φ y los números derivados de él, podemos aumentar el número √ 5 . De hecho, mostró que podemos reemplazarlo con 2 √ 2 . Nuevamente, este nuevo límite es mejor posible en la nueva configuración, pero esta vez el número √ 2 es el problema. Si no permitimos √ 2 entonces podemos aumentar el número en el lado derecho de la desigualdad de 2 √ 2 a √ 221/5 . Repitiendo este proceso obtenemos una secuencia infinita de números √ 5 , 2 √ 2 , √ 221/5, ... que convergen en 3. [1] Estos números se denominan números de Lagrange , [2] y llevan el nombre de Joseph Louis Lagrange .