Tops de Lagrange, Euler y Kovalevskaya

Leonhard Euler , Joseph-Louis Lagrange y Sofia Vasilyevna Kovalevskaya

En la mecánica clásica , la precesión de un cuerpo rígido como una peonza bajo la influencia de la gravedad no es, en general, un problema integrable . Sin embargo, hay tres (o cuatro) casos famosos que son integrables, el de Euler , el de Lagrange y el de Kovalevskaya . ^{[1] [2]} Además de la energía, cada uno de estos cimas implica tres constantes de movimiento adicionales que dan lugar a la integrabilidad .

La tapa de Euler describe una tapa libre sin ninguna simetría particular, que se mueve en ausencia de un par externo en el que el punto fijo es el centro de gravedad . La tapa de Lagrange es una tapa simétrica, en la que dos momentos de inercia son iguales y el centro de gravedad se encuentra en el eje de simetría . La tapa Kovalevskaya ^{[3] [4]} es una tapa simétrica especial con una relación única de los momentos de inercia que satisfacen la relación

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3},}$

Es decir, dos momentos de inercia son iguales, el tercero es la mitad de grande y el centro de gravedad está ubicado en el plano perpendicular al eje de simetría (paralelo al plano de los dos puntos iguales). La tapa no holonómica de Goryachev-Chaplygin (introducida por D. Goryachev en 1900 ^[5] e integrada por Sergey Chaplygin en 1948 ^{[6] [7]} ) también es integrable ( ). Su centro de gravedad se encuentra en el plano ecuatorial . ^[8] Se ha demostrado que no existen otras cimas integrables holonómicas. ^[9]${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$

Formulación hamiltoniana de tapas clásicas

Un techo clásico ^[10] está definido por tres ejes principales, definidos por los tres vectores ortogonales , y con los momentos de inercia correspondientes , y . En una formulación hamiltoniana de cimas clásicas, las variables dinámicas conjugadas son las componentes del vector de momento angular a lo largo de los ejes principales${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{2}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{3}}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$${\displaystyle {\bf {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

y los componentes z de los tres ejes principales,

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

El álgebra de Poisson de estas variables está dada por

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

Si la posición del centro de masa está dada por , entonces el hamiltoniano de un techo está dado por${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3}),}$

Las ecuaciones de movimiento se determinan entonces por

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}}$

Euler top

La tapa de Euler, llamada así por Leonhard Euler , es una tapa sin torque, con hamiltonian

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

Las cuatro constantes de movimiento son la energía y los tres componentes del momento angular en el marco del laboratorio,${\displaystyle H_{\rm {E}}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

Top de Lagrange

La parte superior de Lagrange, ^[11] lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange , es una parte superior simétrica con el centro de masa a lo largo del eje de simetría en la ubicación , con hamiltoniano${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

Las cuatro constantes de movimiento son la energía , el componente del momento angular a lo largo del eje de simetría , el momento angular en la dirección z${\displaystyle H_{\rm {L}}}$${\displaystyle \ell _{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del n -vector

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

Top de Kovalevskaya

La parte superior de Kovalevskaya ^{[3] [4]} es una parte superior simétrica en la que , y el centro de masa se encuentra en el plano perpendicular al eje de simetría . Fue descubierto por Sofia Kovalevskaya en 1888 y presentado en su artículo "Sur le problème de la rotación d'un corps solide autour d'un point fixe", que ganó el Prix Bordin de la Academia Francesa de Ciencias en 1888. El hamiltoniano es${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$${\displaystyle I_{3}=I}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

Las cuatro constantes de movimiento son la energía , la invariante de Kovalevskaya${\displaystyle H_{\rm {K}}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

donde las variables están definidas por${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

el componente del momento angular en la dirección z ,

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del n -vector

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

Ver también

• Suspensión cardán

Referencias

1. Audin, Michèle (1996), Trompos: un curso sobre sistemas integrables , Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 9780521779197.
2. Whittaker, ET (1952). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521358835 . 
3. Kovalevskaya, Sofia (1889), "Sur le problème de la rotación d'un corps solide autour d'un point fixe" , Acta Mathematica (en francés), 12 : 177-232
4. Perelemov, AM (2002). Teoret. Estera. Fiz. , Volumen 131, Número 2, págs. 197–205. (en francés)
5. Goryachev, D. (1900). "Sobre el movimiento de un cuerpo de material rígido alrededor de un punto fijo en el caso A = B = C", Mat. Sb. , 21. (en ruso) . Citado en Bechlivanidis & van Moerbek (1987) y Hazewinkel (2012).
6. Chaplygin, SA (1948). "Un nuevo caso de rotación de un cuerpo rígido, apoyado en un punto", Obras completas , Vol. I, págs. 118-124. Moscú: Gostekhizdat. (en ruso) . Citado en Bechlivanidis & van Moerbek (1987) y Hazewinkel (2012).
7. Bechlivanidis, C .; van Moerbek, P. (1987), "The Goryachev-Chaplygin Top and the Toda Lattice" , Communications in Mathematical Physics , 110 (2): 317–324, Bibcode : 1987CMaPh.110..317B , doi : 10.1007 / BF01207371 , S2CID 119927045 
8. Hazewinkel, Michiel; ed. (2012). Enciclopedia de Matemáticas , págs. 271-2. Saltador. ISBN 9789401512886 . 
9. Strogatz, Steven (2019). Poderes infinitos . Nueva York: Houghton Mifflin Harcourt. pag. 287. ISBN 978-1786492968. Y lo que es más importante, ella [Sofja Wassiljewna Kowalewskaja] demostró que no podían existir otras tapas con solución. Ella había encontrado el último
10. Herbert Goldstein , Charles P. Poole y John L. Safko (2002). Mecánica clásica (tercera edición), Addison-Wesley. ISBN 9780201657029 . 
11. Cushman, RH; Bates, LM (1997), "The Lagrange top", Aspectos globales de los sistemas integrables clásicos , Basilea: Birkhäuser, págs. 187-270, doi : 10.1007 / 978-3-0348-8891-2_5 , ISBN 978-3-0348-9817-1.

enlaces externos

• Kovalevskaya Top - del mundo de la física de Eric Weisstein