Dualidad (optimización)

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En la teoría de la optimización matemática , la dualidad o el principio de dualidad es el principio de que los problemas de optimización pueden verse desde cualquiera de dos perspectivas, el problema primario o el problema dual . Si el primal es un problema de minimización, entonces el dual es un problema de maximización (y viceversa). Cualquier solución factible al problema primal (minimización) es al menos tan grande como cualquier solución factible al problema dual (maximización). Por lo tanto, la solución del primal es un límite superior para la solución del dual, y la solución del dual es un límite inferior para la solución del primal. ^[1] Este hecho se denomina dualidad débil .

En general, los valores óptimos de los problemas primal y dual no necesitan ser iguales. Su diferencia se llama brecha de dualidad . Para problemas de optimización convexos , la brecha de dualidad es cero bajo una condición de calificación de restricción . Este hecho se llama dualidad fuerte .

Por lo general, el término "problema dual" se refiere al problema dual de Lagrangian, pero se utilizan otros problemas duales, por ejemplo, el problema dual de Wolfe y el problema dual de Fenchel . El problema dual lagrangiano se obtiene formando el lagrangiano de un problema de minimización usando multiplicadores de Lagrange no negativospara agregar las restricciones a la función objetivo y luego resolver los valores de las variables primarias que minimizan la función objetivo original. Esta solución da las variables primarias como funciones de los multiplicadores de Lagrange, que se denominan variables duales, por lo que el nuevo problema es maximizar la función objetivo con respecto a las variables duales bajo las restricciones derivadas de las variables duales (incluyendo al menos la no negatividad restricciones).

En general, dados dos pares duales de espacios separados localmente convexos y la función , podemos definir el problema primal como encontrar tal que En otras palabras, si existe, es el mínimo de la función y el ínfimo (mayor límite inferior) de la función se logra${\displaystyle \left(X,X^{*}\right)}$${\displaystyle \left(Y,Y^{*}\right)}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle f({\hat {x}})=\inf _{x\in X}f(x).\,}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle f({\hat {x}})}$${\displaystyle f}$

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