En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Hausdorff , espacio separado o T 2 espacio es un espacio topológico donde para cualquier par de puntos distintos existen barrios de cada que son disjuntos entre sí. De los muchos axiomas de separación que pueden ser impuestas a un espacio topológico, la "condición de Hausdorff" (T 2 ) es el utilizado y discutido con más frecuencia. Implica la unicidad de los límites de secuencias , redes y filtros . [1]
Axiomas de separación en espacios topológicos | |
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Clasificación de Kolmogorov | |
T 0 | (Kolmogorov) |
T 1 | (Fréchet) |
T 2 | (Hausdorff) |
T 2 ½ | (Urysohn) |
completamente T 2 | (completamente Hausdorff) |
T 3 | (Hausdorff regular) |
T 3½ | (Tychonoff) |
T 4 | (Hausdorff normal) |
T 5 | ( Hausdorff completamente normal ) |
T 6 | ( Hausdorff perfectamente normal ) |
Los espacios de Hausdorff llevan el nombre de Felix Hausdorff , uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (en 1914) incluía la condición de Hausdorff como axioma .
Definiciones
Puntos y en un espacio topológico se puede separar por barrios si existe un barrio de y un barrio de tal que y son disjuntos (). es un espacio de Hausdorff si todos los puntos distintos enson separables en vecindarios por pares. Esta condición es el tercer axioma de separación (después de), por lo que los espacios de Hausdorff también se denominan espacios. También se utiliza el espacio separado por nombres .
Una noción relacionada, pero más débil, es la de espacio preregular .es un espacio pre-regular si dos puntos que se pueden distinguir topológicamente pueden estar separados por vecindarios inconexos. Los espacios prerregulares también se denominanespacios .
La relación entre estas dos condiciones es la siguiente. Un espacio topológico es Hausdorff si y solo si es prerregular (es decir, los puntos topológicamente distinguibles están separados por vecindarios) y Kolmogorov (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles). Un espacio topológico es prerregular si y solo si su cociente de Kolmogorov es Hausdorff.
Equivalencias
Para un espacio topológico , los siguientes son equivalentes: [2]
- es un espacio de Hausdorff.
- Límites de redes enson únicos. [3]
- Límites de filtros enson únicos. [4]
- Cualquier conjunto singleton es igual a la intersección de todos los barrios cerrados de. [5] (Un barrio cerrado dees un conjunto cerrado que contiene un conjunto abierto que contiene x .)
- La diagonal está cerrado como un subconjunto del espacio del producto .
Ejemplos y no ejemplos
Casi todos los espacios encontrados en el análisis son de Hausdorff; lo más importante, los números reales (bajo la topología métrica estándar en números reales) son un espacio de Hausdorff. De manera más general, todos los espacios métricos son Hausdorff. De hecho, muchos espacios de uso en el análisis, como los grupos topológicos y las variedades topológicas , tienen la condición de Hausdorff explícitamente establecida en sus definiciones.
Un ejemplo simple de una topología que es T 1 pero no es Hausdorff es la topología cofinita definida en un conjunto infinito .
Los espacios pseudométricos normalmente no son de Hausdorff, pero son prerregulares, y su uso en el análisis suele ser solo en la construcción de espacios de calibre de Hausdorff . De hecho, cuando los analistas se topan con un espacio que no es de Hausdorff, probablemente todavía sea al menos preregular, y luego simplemente lo reemplazan con su cociente de Kolmogorov, que es de Hausdorff. [6]
Por el contrario, los espacios no prerregulares se encuentran con mucha más frecuencia en el álgebra abstracta y la geometría algebraica , en particular como la topología de Zariski en una variedad algebraica o el espectro de un anillo . También surgen en la teoría del modelo de la lógica intuicionista : cada álgebra de Heyting completa es el álgebra de conjuntos abiertos de algún espacio topológico, pero este espacio no tiene por qué ser prerregular, mucho menos Hausdorff, y de hecho generalmente no lo es. El concepto relacionado de dominio de Scott también consta de espacios no prerregulares.
Si bien la existencia de límites únicos para redes y filtros convergentes implica que un espacio es de Hausdorff, hay espacios T 1 que no son de Hausdorff en los que cada secuencia convergente tiene un límite único. [7]
Propiedades
Los subespacios y productos de los espacios de Hausdorff son Hausdorff, [8] pero los espacios de cociente de los espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff. De hecho, cada espacio topológico se puede realizar como el cociente de algún espacio de Hausdorff. [9]
Los espacios de Hausdorff son T 1 , lo que significa que todos los singleton están cerrados. Del mismo modo, los espacios prerregulares son R 0 . Cada espacio de Hausdorff es un espacio sobrio, aunque lo contrario en general no es cierto.
Otra buena propiedad de los espacios de Hausdorff es que los conjuntos compactos siempre están cerrados. [10] Para espacios que no son de Hausdorff, puede ser que todos los conjuntos compactos sean conjuntos cerrados (por ejemplo, la topología cocountable en un conjunto incontable) o no (por ejemplo, la topología cofinita en un conjunto infinito y el espacio de Sierpiński ).
La definición de un espacio de Hausdorff dice que los puntos pueden estar separados por vecindarios. Resulta que esto implica algo que es aparentemente más fuerte: en un espacio de Hausdorff cada par de conjuntos compactos disjuntos también pueden estar separados por vecindarios, [11] en otras palabras, hay un vecindario de un conjunto y un vecindario del otro, tal que los dos barrios son inconexos. Este es un ejemplo de la regla general de que los conjuntos compactos a menudo se comportan como puntos.
Las condiciones de compacidad junto con la preregularidad a menudo implican axiomas de separación más fuertes. Por ejemplo, cualquier espacio preregular localmente compacto es completamente regular . Los espacios preregulares compactos son normales , lo que significa que satisfacen el lema de Urysohn y el teorema de extensión de Tietze y tienen particiones de unidad subordinadas a cubiertas abiertas localmente finitas . Las versiones de Hausdorff de estas declaraciones son: cada espacio de Hausdorff localmente compacto es Tychonoff , y cada espacio de Hausdorff compacto es Hausdorff normal.
Los siguientes resultados son algunas propiedades técnicas con respecto a los mapas ( continuos y de otro tipo) hacia y desde los espacios de Hausdorff.
Dejar ser una función continua y supongamos es Hausdorff. Entonces la gráfica de, , es un subconjunto cerrado de .
Dejar ser una función y dejar ser su núcleo considerado como un subespacio de.
- Si es continuo y es Hausdorff entonces está cerrado.
- Si es una sobreyección abierta y está cerrado entonces es Hausdorff.
- Si es una sobreyección abierta y continua (es decir, un mapa de cociente abierto), entonces es Hausdorff si y solo si está cerrado.
Si son mapas continuos y es Hausdorff entonces el ecualizador está cerrado en . De ello se deduce que si es Hausdorff y y estar de acuerdo en un subconjunto denso de luego . En otras palabras, las funciones continuas en los espacios de Hausdorff están determinadas por sus valores en subconjuntos densos.
Dejar ser una sobreyección cerrada tal quees compacto para todos. Entonces sí es Hausdorff .
Dejar ser un mapa de cocientes conun espacio compacto de Hausdorff. Entonces los siguientes son equivalentes:
- es Hausdorff.
- es un mapa cerrado .
- está cerrado.
Preregularidad versus regularidad
Todos los espacios regulares son prerregulares, al igual que todos los espacios de Hausdorff. Hay muchos resultados para espacios topológicos que son válidos tanto para espacios regulares como para espacios de Hausdorff. La mayoría de las veces, estos resultados son válidos para todos los espacios preregulares; se enumeraron para los espacios regulares y de Hausdorff por separado porque la idea de los espacios prerregulares surgió más tarde. Por otro lado, los resultados que realmente tienen que ver con la regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.
Hay muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como la paracompactancia o la compacidad local ) implicará regularidad si se satisface la preregularidad. Estas condiciones suelen presentarse en dos versiones: una versión normal y una versión de Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff no son, en general, regulares, un espacio de Hausdorff que también (digamos) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es pre-regular. Así, desde cierto punto de vista, lo que importa en estas situaciones es la prerregularidad, más que la regularidad. Sin embargo, las definiciones todavía suelen estar redactadas en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que la prerregularidad.
Consulte Historia de los axiomas de separación para obtener más información sobre este tema.
Variantes
Los términos "Hausdorff", "separados" y "prerregulares" también se pueden aplicar a variantes en espacios topológicos como espacios uniformes , espacios de Cauchy y espacios de convergencia . La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de las redes y filtros (cuando existen) son únicos (para espacios separados) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para espacios preregulares).
Como resultado, los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre prerregulares, por lo que la condición de Hausdorff en estos casos se reduce a la condición T 0 . Estos son también los espacios en los que la completitud tiene sentido, y Hausdorffness es un compañero natural de la completitud en estos casos. Específicamente, un espacio está completo si y solo si cada red de Cauchy tiene al menos un límite, mientras que un espacio es Hausdorff si y solo si cada red de Cauchy tiene como máximo un límite (ya que solo las redes de Cauchy pueden tener límites en primer lugar).
Álgebra de funciones
El álgebra de funciones continuas (reales o complejas) en un espacio compacto de Hausdorff es un álgebra C * conmutativa y, a la inversa, mediante el teorema de Banach-Stone se puede recuperar la topología del espacio a partir de las propiedades algebraicas de su álgebra de funciones continuas. Esto conduce a la geometría no conmutativa , donde se considera que las álgebras C * no conmutativas representan álgebras de funciones en un espacio no conmutativo.
Humor académico
- La condición de Hausdorff se ilustra con el juego de palabras de que en los espacios de Hausdorff dos puntos cualesquiera pueden "separarse" entre sí mediante conjuntos abiertos . [12]
- En el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Bonn , en el que Felix Hausdorff investigó y dio conferencias, hay una cierta sala denominada Hausdorff-Raum . Este es un juego de palabras, ya que Raum significa habitación y espacio en alemán.
Ver también
- Espacio cuasitopológico
- Débil espacio de Hausdorff
- Espacio de punto fijo , un espacio de Hausdorff X tal que toda función continua f : X → X tiene un punto fijo.
Notas
- ^ [ cita requerida ] https://ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms
- ^ "axiomas de separación en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 1 de enero de 2020 .
- ^ Willard, págs. 86-87.
- ^ Willard, págs. 86-87.
- ^ Bourbaki, pág. 75.
- ^ Ver, por ejemplo, Lp space # Lp espacios , Banach – Mazur compactum, etc.
- ^ van Douwen, Eric K. (1993). "Un espacio anti-Hausdorff Fréchet en el que las secuencias convergentes tienen límites únicos" . Topología y sus aplicaciones . 51 (2): 147-158. doi : 10.1016 / 0166-8641 (93) 90147-6 .
- ^ "La propiedad de Hausdorff es hereditaria" . PlanetMath .
- ^ Shimrat, M. (1956). "Espacios de descomposición y propiedades de separación". Cuarto de galón. J. Math . 2 : 128-129. doi : 10.1093 / qmath / 7.1.128 .
- ^ "Proof of A compact set in a Hausdorff space is closed" . PlanetMath .
- ^ Willard, pág. 124.
- ^ Colin Adams y Robert Franzosa. Introducción a la topología: pura y aplicada. pag. 42
Referencias
- Arkhangelskii, AV, LS Pontryagin , Topología general I , (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-18178-4 .
- Bourbaki ; Elementos de las matemáticas: topología general , Addison-Wesley (1966).
- "Espacio de Hausdorff" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.