En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios vectoriales topológicos localmente convexos ( LCTVS ) o los espacios localmente convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos (TVS) que generalizan espacios normativos . Se pueden definir como espacios vectoriales topológicos cuya topología se genera mediante traslaciones de conjuntos convexos , absorbentes y equilibrados . Alternativamente, pueden definirse como un espacio vectorial con una familia de seminormas.y se puede definir una topología en términos de esa familia. Aunque en general tales espacios no son necesariamente normativos , la existencia de una base local convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte como para que se mantenga el teorema de Hahn-Banach , lo que produce una teoría suficientemente rica de los funcionales lineales continuos .
Los espacios de Fréchet son espacios localmente convexos que son completamente metrizables (con una opción de métrica completa). Son generalizaciones de espacios de Banach , que son espacios vectoriales completos con respecto a una métrica generada por una norma .
Historia
Las topologías metrizables en espacios vectoriales se han estudiado desde su introducción en la tesis doctoral de 1902 de Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel (en la que se introdujo por primera vez la noción de métrica ). Después de que Felix Hausdorff definiera la noción de un espacio topológico general en 1914, [1] aunque algunos matemáticos usaron implícitamente topologías convexas localmente, hasta 1934 solo John von Neumann parecería haber definido explícitamente la topología débil en los espacios de Hilbert y topología de operador fuerte en operadores en espacios de Hilbert. [2] [3] Finalmente, en 1935 von Neumann introdujo la definición general de un espacio localmente convexo (llamado espacio convexo por él). [4] [5]
Un ejemplo notable de un resultado que tuvo que esperar a que el desarrollo y la difusión de los espacios generales localmente convexos (entre otras nociones y resultados, como las redes , la topología del producto y el teorema de Tychonoff ) se probara en su completa generalidad, es el de Banach-Alaoglu teorema que Stefan Banach estableció por primera vez en 1932 mediante un argumento diagonal elemental para el caso de espacios normados separables [6] (en cuyo caso la bola unitaria del dual es metrizable ).
Definición
Suponga que X es un espacio vectorial sobreun subcampo de los números complejos (normalmente sí mismo o ). Un espacio localmente convexo se define en términos de conjuntos convexos o, de manera equivalente, en términos de seminormas.
Definición mediante conjuntos convexos
Un subconjunto C en X se llama
- Convexo si para todo x , y en C , y tx + (1 - t ) y está en C . En otras palabras, C contiene todos los segmentos de línea entre los puntos en C .
- Encerrado en un círculo si para todo x en C , λx está en C si | λ | = 1 . Siesto significa que C es igual a su reflejo a través del origen. Parasignifica que para cualquier x en C , C contiene el círculo a través de x , centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por x .
- Un cono (cuando el subyacente se ordena campo ) si para todo x en C y 0 ≤ lambda ≤ 1, λx está en C .
- Equilibrado si para todo x en C , λx está en C si | λ | ≤ 1 . Siesto significa que si x está en C , C contiene el segmento de línea entre x y - x . Parasignifica que para cualquier x en C , C contiene el disco con x en su límite, centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por x . De manera equivalente, un conjunto equilibrado es un cono en un círculo.
- Absorbente o absorbente si por cada x en X , existetal que x está en tC para todos satisfactorio El conjunto C se puede escalar con cualquier valor "grande" para absorber todos los puntos del espacio.
- En cualquier TV, cada vecindario del origen es absorbente. [7]
- Absolutamente convexo o un disco si es a la vez equilibrado y convexo. Esto equivale a estar cerrado bajo combinaciones lineales cuyos coeficientes suman absolutamente a; un conjunto de este tipo es absorbente si se extiende por todos los X .
Un espacio vectorial topológico se denomina localmente convexo si el origen tiene una base de vecindad (es decir, una base local) que consta de conjuntos convexos. [7]
De hecho, cada TVS localmente convexo tiene una base de vecindad del origen que consiste en conjuntos absolutamente convexos (es decir, discos), donde esta base de vecindad se puede elegir además para que también consista enteramente en conjuntos abiertos o enteramente en conjuntos cerrados. [7] Cada TVS tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos balanceados, pero solo un TVS localmente convexo tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos que son tanto balanceados como convexos. Es posible que un TVS tenga algunos vecindarios del origen que sean convexos y, sin embargo, no sean localmente convexos.
Debido a que la traducción es (por definición de "espacio vectorial topológico") continua, todas las traducciones son homeomorfismos , por lo que cada base para las vecindades del origen se puede traducir a una base para las vecindades de cualquier vector dado.
Definición vía seminormas
Un seminario en X es un mapa tal que
- p es positivo o positivo semidefinito:;
- p es positivo homogéneo o positivo escalable: por cada escalar Entonces, en particular, ;
- p es subaditivo. Satisface la desigualdad del triángulo:
Si p satisface la definición positiva, que establece que si luego , entonces p es una norma . Si bien, en general, los seminarios no tienen por qué ser normas, hay un análogo de este criterio para las familias de seminarios, la separación, que se define a continuación.
- Definición : Si X es un espacio vectorial y es una familia de seminormas en X, luego un subconjunto de se llama una base de seminormas para si por todos existe un y un real tal que [8]
- Definición (segunda versión): Un espacio localmente convexo se define como un espacio vectorial X junto con una familia.de seminormas en X .
Topología seminorm
Suponga que X es un espacio vectorial sobre dónde son los números reales o complejos, y deje (resp. denotar la bola abierta (o cerrada) de radio en Una familia de seminarios en el espacio vectorial X induce una topología de espacio vectorial canónica en X , llamada topología inicial inducida por las seminormas, convirtiéndola en un espacio vectorial topológico (TVS). Por definicin, es la topologa ms gruesa en X para la cual todos los mapas en son continuos.
Que las operaciones del espacio vectorial sean continuas en esta topología se deduce de las propiedades 2 y 3 anteriores. Puede verse fácilmente que el espacio vectorial topológico resultante es "localmente convexo" en el sentido de la primera definición dada anteriormente porque cada es absolutamente convexo y absorbente (y porque estas últimas propiedades se conservan mediante traslaciones).
Es posible para una topología localmente convexa en un espacio X a ser inducida por una familia de normas pero para X a no ser normable (es decir, tener su topología ser inducida por una única norma).
Base y subbase
Suponer que es una familia de seminormas en X que induce una topología localmente convexa τ en X . Una subbase en el origen viene dada por todos los conjuntos de la formacomo p se extiende sobrey r varía sobre los números reales positivos. Una base en el origen viene dada por la colección de todas las posibles intersecciones finitas de tales conjuntos de subbasis.
Recuerde que la topología de un TVS es invariante en la traducción, lo que significa que si S es cualquier subconjunto de X que contenga el origen, entonces para cualquier S es una vecindad de 0 si y solo sies una vecindad de x ; por tanto, basta con definir la topología en el origen. Una base de vecindades de y para esta topología se obtiene de la siguiente manera: para cada subconjunto finito F de y cada dejar
Bases de seminormas y familias saturadas
Si X es un espacio localmente convexo y sies una colección de seminormes continuos en X , luegoque se llama una base del seminormas continuas si se trata de una base de seminormas para la recogida de todos los seminormas continuas en X . [8] Explícitamente, esto significa que para todos los seminormes continuos p en X , existe un y un real tal que [8]
Si es una base de seminormes continuos para un TVS X localmente convexo, luego la familia de todos los conjuntos de la formacomo q varía sobrey r varía sobre los números reales positivos, es una base de vecindades del origen en X (no solo una subbase, por lo que no es necesario tomar intersecciones finitas de tales conjuntos). [8]
Una familia de seminormas sobre un espacio vectorial X se llama saturado si por cualquier p y q en, la seminorma definida por pertenece a .
Si es una familia saturada de seminormas continuos que induce la topología en X y luego la colección de todos los conjuntos de la formacomo p se extiende sobrey r varía sobre todos los números reales positivos, forma una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos abiertos convexos; [8] Esto forma una base en el origen en lugar de simplemente una subbase de modo que, en particular, no hay necesidad de tomar intersecciones finitas de tales conjuntos. [8]
Bases de normas
El siguiente teorema implica que si X es un espacio localmente convexo, entonces la topología de X puede ser definida por una familia de normas continuas sobre X (una norma es una seminorma dónde implica ) Si y sólo si existe al menos un continuo norma en X . [9] Esto se debe a que la suma de una norma y una seminorma es una norma, por lo que si un espacio localmente convexo está definido por alguna familia de seminormas (cada uno es necesariamente continuo) entonces la familia de normas (también continuas) obtenidas añadiendo alguna norma continua dada para cada elemento, necesariamente habrá una familia de normas que defina esta misma topología localmente convexa. Si existe una norma continua en un espacio vectorial topológico X, entonces X es necesariamente Hausdorff, pero lo contrario no es cierto en general (ni siquiera para espacios localmente convexos o espacios de Fréchet ).
Teorema [10] - Sea ser un espacio de Fréchet sobre el campo Entonces los siguientes son equivalentes:
- no no admitir una norma continua (es decir, cualquier seminorma continua enno puede ser una norma).
- contiene un subespacio vectorial que es TVS-isomorfo a
- contiene un subespacio vectorial complementado que es TVS-isomorfo a
Redes
Suponga que la topología de un espacio localmente convexo X es inducida por una familiade seminormas continuas en X . Si y si es una red en X , entoncesen X si y solo si para todos [11] Además, sies Cauchy en X , entonces también lo es para cada [11]
Equivalencia de definiciones
Aunque la definición en términos de una base de vecindario ofrece una mejor imagen geométrica, la definición en términos de seminormas es más fácil de trabajar en la práctica. La equivalencia de las dos definiciones se deriva de una construcción conocida como calibre funcional de Minkowski o calibre de Minkowski. La característica clave de los seminormas que asegura la convexidad de sus ε - bolas es la desigualdad del triángulo .
Para un conjunto absorbente C tal que si x está en C , entonces tx está en C siempre que, define el funcional de Minkowski de C como
De esta definición se sigue que es seminorme si C es equilibrado y convexo (también es absorbente por supuesto). Por el contrario, dada una familia de seminarios, los conjuntos
Forman una base de conjuntos equilibrados absorbentes convexos.
Formas de definir una topología convexa local
Teorema [7] - Suponga que X es un espacio vectorial (real o complejo) y seaser una base de filtro de subconjuntos de X tal que:
- Cada es convexo , equilibrado y absorbente ;
- Para cada existe algo real r satisfactorio tal que
Luego es una base de barrio a 0 para una topología localmente convexa en TVS X .
Teorema [7] - Suponga que X es un espacio vectorial (real o complejo) y seaser una colección no vacía de convexa, equilibrada , y de absorción de subconjuntos de X . Entonces el conjunto de todos los múltiplos escalares positivos de intersecciones finitas de conjuntos enforma una base barrio a 0 para una topología localmente convexa en TVS X .
Definiciones adicionales
- Una familia de seminarios se llama total o separado o se dice que separa puntos si siemprese cumple para cada α entonces x es necesariamente 0 . Un espacio localmente convexo es Hausdorff si y solo si tiene una familia separada de seminormas. Muchos autores toman el criterio de Hausdorff en la definición.
- Una pseudométrica es una generalización de una métrica que no satisface la condición de que sólo cuando Un espacio localmente convexo es pseudometrizable, lo que significa que su topología surge de una pseudometría, si y solo si tiene una familia contable de seminormas. De hecho, una pseudometría que induce la misma topología viene dada por (donde 1/2 n puede ser reemplazado por cualquier secuencia sumable positiva). Esta pseudométrica es invariante a la traducción, pero no homogénea, lo que significay por lo tanto no define una (pseudo) norma. La pseudométrica es una métrica honesta si y solo si la familia de seminormas está separada, ya que este es el caso si y solo si el espacio es Hausdorff. Si además el espacio está completo, el espacio se denomina espacio Fréchet .
- Como ocurre con cualquier espacio vectorial topológico, un espacio localmente convexo es también un espacio uniforme . Así, uno puede hablar de continuidad uniforme , la convergencia uniforme , y secuencias de Cauchy .
- Una red de Cauchy en un espacio localmente convexo es una red { x κ } κ tal que para cada ε > 0 y cada seminorma p α , existe una κ tal que para todo λ , μ > κ , p α ( x λ - x μ ) < ε . En otras palabras, la red debe ser Cauchy en todos los seminormas simultáneamente. La definición de completitud se da aquí en términos de redes en lugar de las secuencias más familiares porque, a diferencia de los espacios de Fréchet que son metrizables, los espacios generales pueden estar definidos por una familia incontable de pseudometría. Las secuencias, que son contables por definición, no pueden ser suficientes para caracterizar la convergencia en tales espacios. Un espacio localmente convexo está completo si y solo si todas las redes de Cauchy convergen.
- Una familia de seminormas se convierte en un conjunto preordenado bajo la relación p α ≤ p β si y solo si existe un M > 0 tal que para todo x , p α ( x ) ≤ Mp β ( x ) . Se dice que es una familia dirigida de seminormas si la familia es un conjunto dirigido con la suma como unión , es decir, si para cada α y β , hay una γ tal que p α + p β ≤ p γ . Cada familia de seminormas tiene una familia dirigida equivalente, es decir, una que define la misma topología. De hecho, dada una familia { p α } α ∈ I , sea Φ el conjunto de subconjuntos finitos de I , entonces para cada F en Φ , defina Se puede comprobar que { q F } F ∈ Φ es una familia dirigida equivalente.
- Si la topología del espacio se induce a partir de una única seminorma, entonces el espacio es seminormable . Cualquier espacio localmente convexo con una familia finita de seminormas es seminormable. Además, si el espacio es Hausdorff (la familia está separada), entonces el espacio es normable, con la norma dada por la suma de las seminormas. En términos de conjuntos abiertos, un espacio vectorial topológico localmente convexo es seminormable si y solo si 0 tiene una vecindad acotada .
Condiciones suficientes
Propiedad de extensión de Hahn-Banach
Sea X un TVS. Decir que un subespacio vectorial M de X tiene la propiedad de extensión si cualquier continua funcional lineal en M se puede extender a una funcional lineal continua en X . [12] Supongamos que X tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de X tiene la propiedad de extensión. [12]
El teorema de Hahn-Banach garantiza que cada espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para televisores metrizables completos, existe lo contrario:
Teorema [12] (Kalton) - Cada TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo.
Si un espacio vectorial X tiene una dimensión incontable y si lo dotamos con la topología vectorial más fina, entonces este es un TVS con el HBEP que no es ni localmente convexo ni metrizable. [12]
Propiedades
A lo largo de, es una familia de seminormas continuas que generan la topología de X .
Propiedades topologicas
- Suponga que Y es un TVS (no necesariamente localmente convexo o Hausdorff) sobre los números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos de Y son exactamente los que tienen la forma para algunos y algunos positiva continua funcional sublineal p en Y . [13]
- Si y luego si y solo si para cada y cada colección finita existe algo tal que [14]
- El cierre de en X es igual a[15]
- Cada TVS localmente convexo de Hausdorff es homeomórfico a un subespacio de un producto de los espacios de Banach . [dieciséis]
Propiedades topológicas de subconjuntos convexos
- El interior y el cierre de un subconjunto convexo de un TVS son nuevamente convexos. [17]
- La suma de Minkowski de dos conjuntos convexos es convexa; además, el múltiplo escalar de un conjunto convexo es nuevamente convexo. [17]
- Si C es un conjunto convexo con interior no vacío, entonces el cierre de C es igual al cierre del interior de C ; Además, el interior de C es igual al interior del cierre de C . [17] [18]
- Entonces, si un conjunto convexo C tiene un interior no vacío, entonces C es un conjunto cerrado (resp. Abierto) si y sólo si es un conjunto cerrado regular (resp. Abierto regular).
- Si C es un convexa subconjunto de un TVS X (no necesariamente Hausdorff), x pertenece al interior de S , y y pertenece al cierre de S , entonces la articulación segmento de línea abierta x y y (es decir,) Pertenece a la interior de S . [18] [19]
- Si X es un espacio localmente convexo (no necesariamente de Hausdorff), M es un subespacio vectorial cerrado de X , V es una vecindad convexa de 0 en M , y sies un vector que no está en V , entonces existe una vecindad convexa U de 0 en X tal que y [17]
- El cierre de un subconjunto convexo de un TVS X localmente convexo de Hausdorff es el mismo para todas las topologías TVS de Hausdorff localmente convexas en X que son compatibles con la dualidad entre X y su espacio dual continuo. [20]
- En un espacio localmente convexo, el casco convexo y el casco en forma de disco de un conjunto totalmente acotado están totalmente acotados. [7]
- En un espacio localmente convexo completo, el casco convexo y el casco en forma de disco de un conjunto compacto son ambos compactos. [7]
- De manera más general, si K es un subconjunto compacto de un espacio localmente convexo, entonces el casco convexo (resp. el casco con discos ) es compacto si y solo si está completo. [7]
- En un espacio localmente convexo, los cascos convexos de conjuntos acotados están acotados. Esto no es cierto para los televisores en general. [21]
- En un espacio de Fréchet , el casco convexo cerrado de un conjunto compacto es compacto. [22]
- En un espacio localmente convexo, cualquier combinación lineal de conjuntos totalmente acotados está totalmente acotada. [21]
Propiedades de los cascos convexos
Para cualquier subconjunto S de un TVS X , el casco convexo (resp. Casco convexo cerrado , casco equilibrado , resp. Casco convexo equilibrado ) de S , denotado por (resp. , ), Es el convexo más pequeño (resp. Cerrado convexa, equilibrado, convexa equilibrado) subconjunto de X que contiene S .
- En un TVS localmente convexo cuasi-completo , el cierre del casco convexo de un subconjunto compacto es nuevamente compacto.
- En un TVS localmente convexo de Hausdorff, el casco convexo de un conjunto precompacto es nuevamente precompacto. [23] En consecuencia, en un TVS de Hausdorff localmente convexo completo , el casco convexo cerrado de un subconjunto compacto es nuevamente compacto. [24]
- En cualquier TVS, el casco convexo de una unión finita de conjuntos convexos compactos es compacto (y convexo). [7]
- Esto implica que en cualquier TVS de Hausdorff, el casco convexo de una unión finita de conjuntos convexos compactos está cerrado (además de ser compacto y convexo); en particular, el casco convexo de tal unión es igual al casco convexo cerrado de esa unión.
- En general, el casco convexo cerrado de un conjunto compacto no es necesariamente compacto.
- En cualquier TVS que no sea de Hausdorff, existen subconjuntos que son compactos (y por lo tanto completos) pero no cerrados.
- El teorema bipolar establece que el bipolar (es decir, el polar del polar) de un subconjunto de un TVS de Hausdorff localmente convexo es igual al casco balanceado convexo cerrado de ese conjunto. [25]
- El casco equilibrado de un conjunto convexo no es necesariamente convexo.
- Si C y D son subconjuntos convexos de un espacio vectorial topológico (TVS) X y si, entonces existen y un número real r satisfactorio tal que [17]
- Si M es un subespacio vectorial de un TVS X , C un subconjunto convexo de M y D un subconjunto convexo de X tal que, luego . [17]
- Recuerde que el subconjunto equilibrado más pequeño de X que contiene un conjunto S se denomina casco equilibrado de S y se denota porPara cualquier subconjunto S de X , el casco convexo equilibrado de S , denotado por, es el subconjunto más pequeño de X que contiene S que es convexo y equilibrado. [26] El casco convexo equilibrado de S es igual al casco convexo del casco equilibrado de S (es decir,), pero el casco convexo equilibrado de S no es necesariamente igual al casco equilibrado del casco convexo de S (es decir, no es necesariamente igual a ). [26]
- Si A y B son subconjuntos de un TVS X y si r es un escalar, entonces, , y Además, si es compacto entonces [27]
- Si A y B son subconjuntos de un TVS X cuyos cascos convexos cerrados son compactos, entonces[27]
- Si S es un conjunto convexo en un espacio vectorial complejo X y existe alguna tal que luego por todo real tal que En particular, para todos los escalares un tal que
Ejemplos y no ejemplos
Topología localmente convexa más fina y burda
Topología vectorial más burda
Cualquier espacio vectorial X dotado de la topología trivial (es decir, la topología indiscreta) es un TVS localmente convexo (y, por supuesto, es la topología más burda). Esta topología es de Hausdorff si y soloLa topología indiscreta convierte cualquier espacio vectorial en un TVS localmente convexo pseudometrizable completo .
En contraste, la topología discreta forma una topología vectorial en X si y soloEsto se deriva del hecho de que todo espacio vectorial topológico es un espacio conectado .
Topología localmente convexa más fina
Si X es un espacio vectorial real o complejo y sies el conjunto de todas las seminormas en X, luego la topología TVS localmente convexa, denotada por 𝜏 lc , queinduce en X se llama la mejor topología localmente convexa en X . [28] Esta topología puede también ser descrito como la TVS-topología en X que tiene como base barrio a 0 el conjunto de todos los absorbentes discos en X . [28] Cualquier topología TVS localmente convexa en X es necesariamente un subconjunto de 𝜏 lc . ( X , 𝜏 lc ) es Hausdorff . [15] Todo mapa lineal desde ( X , 𝜏 lc ) a otro TVS localmente convexo es necesariamente continuo. [15] En particular, todo funcional lineal en ( X , 𝜏 lc ) es continuo y todo subespacio vectorial de X está cerrado en ( X , 𝜏 lc ) .; [15] por lo tanto, si X es de dimensión infinita, entonces ( X , 𝜏 lc ) no es pseudometrizable (y por lo tanto no metrizable). [28] Además, 𝜏 lc es la única topología localmente convexa de Hausdorff en X con la propiedad de que cualquier mapa lineal desde él hacia cualquier espacio localmente convexo de Hausdorff es continuo. [29] El espacio ( X , 𝜏 lc ) es un espacio bornológico . [30]
Ejemplos de espacios localmente convexos
Todo espacio normado es un espacio localmente convexo de Hausdorff, y gran parte de la teoría de los espacios localmente convexos generaliza partes de la teoría de los espacios normativos. Se puede considerar que la familia de seminormas es la norma única. Cada espacio de Banach es un espacio localmente convexo de Hausdorff completo, en particular, los espacios L p con p ≥ 1 son localmente convexos.
De manera más general, cada espacio de Fréchet es localmente convexo. Un espacio de Fréchet se puede definir como un espacio localmente convexo completo con una familia de seminormas contables separados.
El espacio de secuencias de valor real con la familia de seminormas dadas por
es localmente convexo. La familia contable de seminormas es completa y separable, por lo que este es un espacio Fréchet, que no es normable. Esta es también la topología límite de los espacios., incrustado en de forma natural, completando secuencias finitas con infinitos .
Dado cualquier espacio vectorial X y una colección F de funcionales lineales en él, X se puede convertir en un espacio vectorial topológico localmente convexo dándole la topología más débil haciendo que todos los funcionales lineales en F sean continuos. Esto se conoce como la topología débil o la topología inicial determinado por F . La colección F puede ser el dual algebraico de X o cualquier otra colección. La familia de seminormas en este caso viene dada porpara todos f en F .
Los espacios de funciones diferenciables dan otros ejemplos no normativos. Considere el espacio de funciones suaves tal que , Donde un y b son multiindices . La familia de seminormas definida porestá separado y contable, y el espacio es completo, por lo que este espacio metrizable es un espacio de Fréchet. Se le conoce como el espacio de Schwartz , o el espacio de funciones de rápida disminución, y su espacio dual es el espacio de distribuciones templadas .
Un espacio funcional importante en el análisis funcional es el espacio D ( U ) de funciones suaves con soporte compacto enSe necesita una construcción más detallada para la topología de este espacio porque el espacio C∞
0( U ) no está completo en la norma uniforme. La topología en D ( U ) se define de la siguiente manera: para cualquier conjunto compacto fijo K ⊂ U , el espaciode funciones f ∈ C∞
0( U ) con supp ( f ) ⊂ K es un espacio de Fréchet con una familia contable de seminormas || f || m = sup k≤m sup x | D k f ( x ) | (estas son en realidad normas, y la finalización del espaciocon el || ⋅ || m norma es un espacio de Banach D m ( K ) ). Dada cualquier colección { K λ } λ de conjuntos compactos, dirigida por inclusión y tal que su unión sea igual a U , la C∞
0( K λ ) forman un sistema directo , y D ( U ) se define como el límite de este sistema. Este límite de espacios de Fréchet se conoce como espacio LF . Más concretamente, D ( U ) es la unión de todos los C∞
0( K λ ) con la topología convexa local más fuerte que hace que cada mapa de inclusión C∞
0( K λ ) ↪ D ( U ) continuo. Este espacio es localmente convexo y completo. Sin embargo, no es metrizable, por lo que no es un espacio de Fréchet. El espacio dual dees el espacio de distribuciones en
De manera más abstracta, dado un espacio topológico X , el espaciode funciones continuas (no necesariamente acotadas) en X puede recibir la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. Esta topología está definida por semi-normas φ K ( f ) = max {| f ( x ) | : x ∈ K } (ya que K varía sobre el conjunto dirigido de todos los subconjuntos compactos de X ). Cuando X es localmente compacto (por ejemplo, un conjunto abierto en) se aplica el teorema de Stone-Weierstrass : en el caso de funciones con valores reales, cualquier subálgebra deque separa puntos y contiene las funciones constantes (por ejemplo, la subálgebra de polinomios) es denso .
Ejemplos de espacios que carecen de convexidad local.
Muchos espacios vectoriales topológicos son localmente convexos. Ejemplos de espacios que carecen de convexidad local incluyen los siguientes:
- Los espacios L p ([0, 1]) paraestán equipados con la norma FNo son localmente convexos, ya que la única vecindad convexa de cero es todo el espacio. Más generalmente, los espacios L p ( μ ) con una medida finita sin átomos μ y no son localmente convexas.
- El espacio de funciones medibles en el intervalo unitario. (donde identificamos dos funciones que son iguales en casi todas partes ) tiene una topología de espacio vectorial definida por la métrica invariante de traducción: (que induce la convergencia en la medida de funciones medibles; para las variables aleatorias , la convergencia en la medida es la convergencia en la probabilidad ) Este espacio a menudo se denota
Ambos ejemplos tienen la propiedad de que cualquier mapa lineal continuo de los números reales es 0 . En particular, su espacio dual es trivial, es decir, contiene solo el funcional cero.
- El espacio de secuencia ℓ p ( N ) ,, no es localmente convexo.
Mapeos continuos
Teorema [31] - Seaser un operador lineal entre TVS donde Y es localmente convexo (tenga en cuenta que X no necesita ser localmente convexo). Luegoes continua si y solo si para cada seminorma continua q en Y , existe una seminorma continua p en X tal que
Debido a que los espacios localmente convexos son espacios topológicos así como espacios vectoriales, las funciones naturales a considerar entre dos espacios localmente convexos son mapas lineales continuos . Usando las seminormas, se puede dar un criterio necesario y suficiente para la continuidad de un mapa lineal que se asemeja mucho a la condición de delimitación más familiar que se encuentra para los espacios de Banach.
Dados los espacios localmente convexos X e Y con familias de seminormas { p α } α y { q β } β respectivamente, un mapa lineales continuo si y solo si para cada β , existen α 1 , α 2 ,…, α n y M > 0 tal que para todo v en X
En otras palabras, cada seminorma del rango de T está delimitada por encima de una suma finita de seminormas en el dominio . Si la familia { p α } α es una familia dirigida, y siempre se puede elegir para que se dirija como se explicó anteriormente, entonces la fórmula se vuelve aún más simple y familiar:
La clase de todos los espacios vectoriales topológicos localmente convexos forma una categoría con mapas lineales continuos como morfismos .
Funcionales lineales
Teorema [31] - Si X es un TVS (no necesariamente localmente convexo) y si f es un funcional lineal en X , entonces f es continua si y solo si existe una seminorma continua p en X tal que
Si X es un espacio vectorial real o complejo, f es una funcional lineal en X , yp es una seminorma en X , entonces si y solo si [31] Si f es una funcional lineal no 0 en un espacio vectorial real X y si p es una seminorma en X , entonces si y solo si [15]
Mapas multilineales
Dejar ser un número entero, ser TVS (no necesariamente localmente convexos), sea Y un TVS localmente convexo cuya topología está determinada por una familia de seminormas continuos, y dejar ser un operador multilineal que sea lineal en cada una de sus n coordenadas. Los siguientes son equivalentes:
- M es continuo.
- Para cada , existen seminormas continuos en respectivamente, tal que para todos [15]
- Para cada , existe una vecindad de 0 en en la que está ligado. [15]
Ver también
- Conjunto convexo : en geometría, conjunto que interseca cada línea en un solo segmento de línea
- Teorema de Kerin-Milman : cuando un espacio es igual al casco convexo cerrado de sus puntos extremos
- Forma lineal: mapa lineal desde un espacio vectorial hasta su campo de escalares
- Celosía vectorial localmente convexa
- Minkowski funcional
- Seminorm
- Funcional sublineal
- Grupo topológico : grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Espacio vectorial - Estructura algebraica básica del álgebra lineal
Notas
- ↑ Hausdorff, F. Grundzüge der Mengenlehre (1914)
- ^ von Neumann, J. Obras completas . Vol II. págs. 94-104
- ^ Dieudonne, J. Historia del análisis funcional Capítulo VIII. Sección 1.
- ^ von Neumann, J. Obras completas . Vol II. p.508-527
- ^ Dieudonne, J. Historia del análisis funcional Capítulo VIII. Sección 2.
- ^ Banach, S. Teoría de operaciones lineales p.75. Ch. VIII. Segundo. 3. Teorema 4., traducido de Theorie des operations lineaires (1932)
- ↑ a b c d e f g h i Narici y Beckenstein 2011 , págs. 67-113.
- ↑ a b c d e f Narici y Beckenstein , 2011 , p. 122.
- ^ Jarchow 1981 , p. 130.
- ^ Jarchow 1981 , págs. 129-130.
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , p. 126.
- ↑ a b c d Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 225-273.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 177-220.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 149.
- ↑ a b c d e f g Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 149-153.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 115-154.
- ↑ a b c d e f Trèves , 2006 , p. 126.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 38.
- ^ Conway 1990 , p. 102.
- ^ Trèves , 2006 , p. 370.
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 155-176.
- ^ Rudin 1991 , p. 7.
- ^ Trèves , 2006 , p. 67.
- ^ Trèves , 2006 , p. 145.
- ^ Trèves , 2006 , p. 362.
- ↑ a b Trèves , 2006 , p. 68.
- ↑ a b Dunford , 1988 , p. 415.
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 125-126.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 476.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 446.
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 126-128.
Referencias
- Berberiano, Sterling K. (1974). Conferencias en Análisis Funcional y Teoría del Operador . Textos de Posgrado en Matemáticas. 15 . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Espacios vectoriales topológicos: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Dunford, Nelson (1988). Operadores lineales (en rumano). Nueva York: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261 .
- Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Köthe, Gottfried (1983). Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor 0248498 . OCLC 840293704 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics . 53 . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .