En matemáticas , los números de Lah , descubiertos por Ivo Lah en 1954, [1] [2] son coeficientes que expresan factoriales ascendentes en términos de factoriales descendentes . También son los coeficientes de lath derivados de . [3]
Los números de Lah sin signo tienen un significado interesante en combinatoria : cuentan el número de formas en que un conjunto de n elementos puede dividirse en k subconjuntos ordenados linealmente no vacíos . [4] Los números de Lah están relacionados con los números de Stirling . [5]
Números Lah sin signo (secuencia A105278 en la OEIS ):
Números de Lah firmados (secuencia A008297 en la OEIS ):
L ( n , 1) es siempre n !; en la interpretación anterior, la única partición de {1, 2, 3} en 1 conjunto puede tener su conjunto ordenado de 6 formas:
- {(1, 2, 3)}, {(1, 3, 2)}, {(2, 1, 3)}, {(2, 3, 1)}, {(3, 1, 2)} o {(3, 2, 1)}
L (3, 2) corresponde a las 6 particiones con dos partes ordenadas:
- {(1), (2, 3)}, {(1), (3, 2)}, {(2), (1, 3)}, {(2), (3, 1)}, {( 3), (1, 2)} o {(3), (2, 1)}
L ( n , n ) es siempre 1 ya que, por ejemplo, dividir {1, 2, 3} en 3 subconjuntos no vacíos da como resultado subconjuntos de longitud 1.
- {(1), (2), (3)}
Adaptando la notación Karamata - Knuth para los números de Stirling , se ha propuesto utilizar la siguiente notación alternativa para los números Lah:
Factoriales ascendentes y descendentes
Dejar representar el factorial ascendente y deja representar el factorial descendente .
Luego y
Por ejemplo,
Compara la tercera fila de la tabla de valores.
Identidades y relaciones
- dónde , para todos , y
- dónde son los números de Stirling del primer tipo y son los números de Stirling del segundo tipo , , y para todos .
Tabla de valores
A continuación se muestra una tabla de valores para los números de Lah:
k norte | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | |||||||||||
2 | 2 | 1 | ||||||||||
3 | 6 | 6 | 1 | |||||||||
4 | 24 | 36 | 12 | 1 | ||||||||
5 | 120 | 240 | 120 | 20 | 1 | |||||||
6 | 720 | 1800 | 1200 | 300 | 30 | 1 | ||||||
7 | 5040 | 15120 | 12600 | 4200 | 630 | 42 | 1 | |||||
8 | 40320 | 141120 | 141120 | 58800 | 11760 | 1176 | 56 | 1 | ||||
9 | 362880 | 1451520 | 1693440 | 846720 | 211680 | 28224 | 2016 | 72 | 1 | |||
10 | 3628800 | 16329600 | 21772800 | 12700800 | 3810240 | 635040 | 60480 | 3240 | 90 | 1 | ||
11 | 39916800 | 199584000 | 299376000 | 199584000 | 69854400 | 13970880 | 1663200 | 11880 | 4950 | 110 | 1 | |
12 | 479001600 | 2634508800 | 4390848000 | 3293136000 | 1317254400 | 307359360 | 43908480 | 3920400 | 217800 | 7260 | 132 | 1 |
Aplicación práctica reciente
En los últimos años, los números de Lah se han utilizado en esteganografía para ocultar datos en imágenes. Algunos investigadores, [6] [7] como el Dr. Sudipta Kumar Ghosal, los han explotado en este dominio como una alternativa a DCT , DFT y DWT debido a la baja complejidad:—De cálculo de sus coeficientes enteros.
Ver también
Referencias
- ^ Lah, Ivo (1954). "Un nuevo tipo de números y su aplicación en la matemática actuarial". Boletim do Instituto dos Actuários Portugueses . 9 : 7-15.
- ^ John Riordan, Introducción al análisis combinatorio , Princeton University Press (1958, reedición 1980) ISBN 978-0-691-02365-6 (reimpreso nuevamente en 2002 por Dover Publications).
- ^ Daboul, Siad; Mangaldan, Jan; Spivey, Michael Z .; Taylor, Peter J. (2013). "Los números Lah y la enésima derivada de". Revista de matemáticas . 86 (1): 39-47. Doi : 10.4169 / math.mag.86.1.039 . JSTOR 10.4169 / math.mag.86.1.039 . S2CID 123113404 .
- ^ Petkovsek, Marko; Pisanski, Tomaz (otoño de 2007). "Interpretación combinatoria de números de Stirling y Lah sin firmar". Diario Pi Mu Epsilon . 12 (7): 417–424. JSTOR 24340704 .
- ^ Comtet, Louis (1974). Combinatoria avanzada . Dordrecht, Holanda: Reidel. pag. 156 .
- ^ Ghosal, Sudipta Kr; Mukhopadhyay, Souradeep; Hossain, Sabbir; Sarkar, Ram (2020). "Aplicación de Lah Transform para la seguridad y privacidad de los datos mediante la ocultación de información en las telecomunicaciones" . Transacciones sobre tecnologías de telecomunicaciones emergentes . doi : 10.1002 / ett.3984 .
- ^ "Imagen esteganografía-usando-Lah-Transform" . MathWorks .