En física, la ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert , llamada así por Lev Landau , Evgeny Lifshitz y TL Gilbert , es un nombre utilizado para una ecuación diferencial que describe el movimiento precesional de magnetización M en un sólido . Es una modificación de Gilbert de la ecuación original de Landau y Lifshitz.
Las diversas formas de la ecuación se utilizan comúnmente en micromagnética para modelar los efectos de un campo magnético en materiales ferromagnéticos . En particular, se puede utilizar para modelar el comportamiento de los elementos magnéticos en el dominio del tiempo debido a un campo magnético. [1] Se agregó un término adicional a la ecuación para describir el efecto de la corriente polarizada de espín en los imanes. [2]
Ecuación de Landau-Lifshitz
En un ferromagnético , la magnetización M puede variar internamente pero en cada punto su magnitud es igual a la magnetización de saturación M s . La ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert predice la rotación de la magnetización en respuesta a momentos de torsión. Landau y Lifshitz (1935) introdujeron una ecuación anterior, pero equivalente (la ecuación de Landau-Lifshitz ) : [3] [4] [5]
( 1 )
donde γ es la relación giromagnética de electrones . y λ es un parámetro de amortiguamiento fenomenológico, a menudo reemplazado por
donde α es una constante adimensional llamada factor de amortiguación. El campo efectivo H eff es una combinación del campo magnético externo, el campo desmagnetizante (campo magnético debido a la magnetización) y algunos efectos de la mecánica cuántica. Para resolver esta ecuación, se deben incluir ecuaciones adicionales para el campo de desmagnetización.
Utilizando los métodos de la mecánica estadística irreversible , numerosos autores han obtenido de forma independiente la ecuación de Landau-Lifshitz. [6] [7] [8]
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
En 1955 Gilbert reemplazó el término de amortiguación en la ecuación de Landau-Lifshitz (LL) por uno que depende de la derivada del tiempo de la magnetización:
( 2b )
Ésta es la ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG), donde η es el parámetro de amortiguación, que es característico del material. Se puede transformar en la ecuación de Landau-Lifshitz: [3]
( 2a )
dónde
En esta forma de la ecuación LL, el término precesional γ ' depende del término de amortiguación. Esto representa mejor el comportamiento de los ferroimanes reales cuando la amortiguación es grande. [9]
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski
En 1996, Slonczewski amplió el modelo para tener en cuenta el par de transferencia de giro , es decir, el par inducido sobre la magnetización por la corriente polarizada por giro que fluye a través del ferromaimán. Esto se escribe comúnmente en términos del momento unitario definido por m = M / M S :
dónde es el parámetro de amortiguación sin unidad, y son pares impulsores, y x es el vector unitario a lo largo de la polarización de la corriente. [10] [11]
Referencias y notas a pie de página
- ^ Yang, Bo. "Estudios numéricos de micromagnetismo dinámico" . Consultado el 8 de agosto de 2011 .
- ^ d'Aquino, Massimiliano (2004). "2.6.1 Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert con término de par de transferencia de giro de Slonczewski". Dinámica de magnetización no lineal en películas delgadas y nanopartículas . Tesis doctoral, Universidad de Nápoles Federico II.
- ^ a b Aharoni, Amikam (1996). Introducción a la Teoría del Ferromagnetismo . Prensa de Clarendon . ISBN 978-0-19-851791-7.
- ^ * Brown, Jr., William Fuller (1978) [Publicado originalmente en 1963]. Micromagnética . Robert E. Krieger Publishing Co.
- ^ * Chikazumi, Sōshin (1997). Física del ferromagnetismo . Prensa de Clarendon . ISBN 978-0-19-851776-4.
- ^ Iwata, Takao (1983). "Un enfoque termodinámico de la magnetización irreversible en partículas de dominio único". Revista de magnetismo y materiales magnéticos . 31–34: 1013–1014. Código Bibliográfico : 1983JMMM ... 31.1013I . doi : 10.1016 / 0304-8853 (83) 90774-6 .
- ^ Iwata, Takao (1986). "Magnetización irreversible en algunos aislantes ferromagnéticos". Revista de magnetismo y materiales magnéticos . 59 (3–4): 215–220. Código bibliográfico : 1986JMMM ... 59..215I . doi : 10.1016 / 0304-8853 (86) 90415-4 .
- ^ Saslow, WM (2009). "¿Landau-Lifshitz o Gilbert amortiguando? Esa es la pregunta". Revista de Física Aplicada . 105 (7): 07D315. Código Bibliográfico : 2009JAP ... 105gD315S . doi : 10.1063 / 1.3077204 .
- ↑ Para obtener detalles del experimento no resonante de Kelly y del análisis de Gilbert (que llevó a Gilbert a modificar el término de amortiguación), consulte Gilbert, TL y Kelly, JM "Amortiguación rotacional anómala en láminas ferromagnéticas", Conf. Magnetismo y materiales magnéticos, Pittsburgh, PA, 14 al 16 de junio de 1955 (Nueva York: Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos, octubre de 1955, págs. 253–263 ). Las referencias de texto a las Figuras 5 y 6 deberían haber sido las Tablas 1 y 2. Gilbert no pudo ajustar los experimentos de Kelly con una relación giromagnética habitual fija γ y una λ = αγ dependiente de la frecuencia , pero podría ajustar esos datos para una relación giromagnética fija de Gilbert γ G = γ / (1+ α 2 ) y un α dependiente de la frecuencia. Se requirieronvalores de α tan grandes como 9, lo que indica una absorción muy amplia y, por lo tanto, una muestra de calidad relativamente baja. Las muestras modernas, cuando se analizan a partir de la absorción de resonancia, dan α del orden de 0,05 o menos.
- ^ Slonczewski, John C. (1996). "Excitación impulsada por corriente de multicapas magnéticas". Revista de magnetismo y materiales magnéticos . 159 (1): –1 – L7. Código Bib : 1996JMMM..159L ... 1S . doi : 10.1016 / 0304-8853 (96) 00062-5 .
- ^ Wolf, SA (16 de noviembre de 2001). "Spintronics: una visión electrónica basada en spin para el futuro" . Ciencia . 294 (5546): 1488–1495. Código Bibliográfico : 2001Sci ... 294.1488W . doi : 10.1126 / science.1065389 . PMID 11711666 . S2CID 14010432 .
Otras lecturas
- Gilbert, TL (1955). "Una formulación lagrangiana de la ecuación giromagnética del campo magnético". Revisión física . 100 (4): 1243. Bibcode : 1955PhRv..100.1235. . doi : 10.1103 / PhysRev.100.1235 .Esto es solo un resumen; el informe completo es "Proyecto de la Armor Research Foundation No. A059, Informe complementario, 1 de mayo de 1956", pero nunca se publicó. Se da una descripción del trabajo en Gilbert, TL (2004). "Una teoría fenomenológica del amortiguamiento en materiales ferromagnéticos". IEEE Trans. Mag . 40 (6): 3443–3449. Código Bibliográfico : 2004ITM .... 40.3443G . doi : 10.1109 / TMAG.2004.836740 . S2CID 35628797 .
- Landau, LD ; Lifshitz, EM (1935). "Teoría de la dispersión de la permeabilidad magnética en cuerpos ferromagnéticos". Phys. Z. Sowjetunion . 8, 153.
- Skrotskiĭ, GV (1984). "La ecuación de Landau-Lifshitz revisada". Sov. Phys. Usp . 27 (12): 977–979. Código bibliográfico : 1984SvPhU..27..977S . doi : 10.1070 / PU1984v027n12ABEH004101 .
- Guo, Boling; Ding, Shijin (2008). Ecuaciones de Landau-Lifshitz . Fronteras de la investigación con la Academia de Ciencias de China. Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 978-981-277-875-8.
- Cimrak, Ivan (2007). "Una encuesta sobre los números y cálculos para la ecuación de Micromagnetismo de Landau-Lifshitz" (PDF) . Archivos de métodos computacionales en ingeniería . 15 (3): 1–37. doi : 10.1007 / BF03024947 . S2CID 195272703 . Archivado desde el original (PDF) el 5 de julio de 2015 . Consultado el 30 de mayo de 2012 .
- M, Lakshmanan (2010). "El fascinante mundo de la ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert: una visión general". Phil. Trans. R. Soc. Una . 369 (1939): 1280-1300. arXiv : 1101.1005 . Código Bibliográfico : 2011RSPTA.369.1280L . doi : 10.1098 / rsta.2010.0319 . PMID 21320917 . S2CID 23275414 .
enlaces externos
- Applet de dinámica de magnetización