En dinámica de fluidos , el chorro Landau-Squire o el chorro Landau sumergido describe un chorro sumergido redondo emitido desde una fuente puntual de impulso hacia un medio fluido infinito del mismo tipo. Esta es una solución exacta a la forma incompresible de las ecuaciones de Navier-Stokes, que fue descubierta por primera vez por Lev Landau en 1944 [1] [2] y más tarde por Herbert Squire en 1951. [3] La ecuación auto-similar fue de hecho derivado por primera vez por NA Slezkin en 1934, [4] pero nunca se aplicó al jet. Siguiendo el trabajo de Landau, VI Yatseyev obtuvo la solución general de la ecuación en 1950. [5]
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Líneas de corriente en chorro Landau-Squire para c = 0.01
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Líneas de corriente en chorro Landau-Squire para c = 0,1
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Líneas de corriente en chorro Landau-Squire para c = 1
El problema se describe en coordenadas esféricas.
con componentes de velocidad
. El flujo es axisimétrico, es decir, independiente de
. Luego, la ecuación de continuidad y las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se reducen a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}u)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(v\sin \theta )=0\\[8pt]&u{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}-{\frac {v^{2}}{r}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left(\nabla ^{2}u-{\frac {2u}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}-{\frac {2v\cot \theta }{r^{2}}}\right)\\[8pt]&u{\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}+{\frac {uv}{r}}=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\nu \left(\nabla ^{2}v+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}-{\frac {v}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una descripción auto-similar está disponible para la solución en la siguiente forma, [6]
![{\displaystyle u={\frac {\nu }{r\sin \theta }}f'(\theta ),\quad v=-{\frac {\nu }{r\sin \theta }}f(\theta ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sustituyendo la forma auto-similar anterior en las ecuaciones gobernantes y usando las condiciones de contorno
en el infinito, se encuentra la forma de la presión como
![{\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}=-{\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {\nu u}{r}}+{\frac {c_{1}}{r^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es una constante. Usando esta presión, encontramos nuevamente a partir de la ecuación del momento,
![{\displaystyle -{\frac {u^{2}}{r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\nu }{r^{2}}}\left[2u+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)\right]+{\frac {2c_{1}}{r^{3}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Reemplazo
por
como variable independiente, las velocidades se vuelven
![{\displaystyle u=-{\frac {\nu }{r}}f'(\mu ),\quad v=-{\frac {\nu }{r}}{\frac {f(\mu )}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(por brevedad, el mismo símbolo se utiliza para
y
aunque son funcionalmente iguales, pero toman diferentes valores numéricos) y la ecuación se convierte en
![{\displaystyle f'^{2}+ff''=2f'+[(1-\mu ^{2})f'']'-2c_{1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Después de dos integraciones, la ecuación se reduce a
![{\displaystyle f^{2}=4\mu f+2(1-\mu ^{2})f'-2(c_{1}\mu ^{2}+c_{2}\mu +c_{3}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
y
son constantes de integración. La ecuación anterior es una ecuación de Riccati . Después de algún cálculo, se puede demostrar que la solución general es
![{\displaystyle f=\alpha (1+\mu )+\beta (1-\mu )+{\frac {2(1-\mu ^{2})(1+\mu )^{\beta }}{(1-\mu )^{\alpha }}}\left[c-\int _{1}^{\mu }{\frac {(1+\mu )^{\beta }}{(1-\mu )^{\alpha }}}\right]^{-1},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
son constantes. La solución físicamente relevante para el jet corresponde al caso
(De manera equivalente, decimos que
, de modo que la solución esté libre de singularidades en el eje de simetría, excepto en el origen). [7] Por lo tanto,
![{\displaystyle f={\frac {2(1-\mu ^{2})}{c+1-\mu }}={\frac {2\sin ^{2}\theta }{c+1-\cos \theta }}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función
está relacionado con la función de flujo como
, así los contornos de
para diferentes valores de
proporciona las líneas de corriente. El constante
describe la fuerza en el origen que actúa en la dirección del chorro (esta fuerza es igual a la tasa de transferencia de momento a través de cualquier esfera alrededor del origen más la fuerza en la dirección del chorro ejercida por la esfera debido a la presión y las fuerzas viscosas), el La relación exacta entre la fuerza y la constante está dada por
![{\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {32(c+1)}{3c(c+2)}}+8(c+1)-4(c+1)^{2}\ln {\frac {c+2}{c}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La solución describe un chorro de fluido que se aleja rápidamente del origen y arrastra el fluido que se mueve lentamente fuera del chorro. El borde del chorro se puede definir como la ubicación donde las líneas de corriente están a una distancia mínima del eje, es decir, e el borde está dado por
![{\displaystyle \theta _{o}=\cos ^{-1}\left({\frac {1}{1+c}}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, la fuerza se puede expresar alternativamente usando este semi-ángulo del límite cónico del chorro,
![{\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {32}{3}}{\frac {\cos \theta _{o}}{\sin ^{2}\theta _{o}}}+{\frac {4}{\cos \theta _{o}}}\ln {\frac {1-\cos \theta _{o}}{1+\cos \theta _{o}}}+{\frac {8}{\cos \theta _{o}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando la fuerza se vuelve grande, el semi-ángulo del chorro se vuelve pequeño, en cuyo caso,
![{\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}\sim {\frac {32}{3\theta _{o}^{2}}}\ll 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y la solución dentro y fuera del jet se vuelve
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta )&\sim {\frac {4\theta ^{2}}{\theta ^{2}+\theta _{o}^{2}}},\quad \theta <\theta _{o},\\f(\theta )&\sim 2(1+\cos \theta ),\quad \theta >\theta _{o}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El chorro en este caso límite se llama chorro de Schlichting . En el otro extremo, cuando la fuerza es pequeña,
![{\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}\sim {\frac {8}{c}}\gg 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
el semi-ángulo se acerca a 90 grados (sin región interior ni exterior, todo el dominio se considera una región única), la solución en sí va a
![{\displaystyle f(\theta )\sim {\frac {2}{c}}\sin ^{2}\theta .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)