El flujo de Schneider es un flujo axisimétrico inducido por un chorro laminar o turbulento (con un gran número de Reynolds de chorro o por un penacho laminar (con un gran número de Grashof ), en el que el dominio del fluido está limitado por una pared. La solución es una solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes , descubiertas por Wilhelm Schneider en 1981. [1] La solución también fue descubierta por AA Golubinskii y VV Sychev en 1979, [2] [3] sin embargo, nunca se aplicó a flujos arrastrados por chorros. una extensión de la solución de flujo potencial de Taylor [4] al número de Reynolds arbitrario .
Descripción matemática
Para chorros laminares o turbulentos y para penachos laminares, la tasa de entretenimiento volumétrico por unidad de longitud axial es constante, como puede verse en la solución del chorro de Schlichting y el penacho de Yih. Por lo tanto, el chorro o la pluma se puede considerar como un sumidero de enlace, como lo hizo GI Taylor por primera vez y este sumidero conducirá el fluido fuera del chorro o la pluma. Antes de Schneider, se suponía que este movimiento del fluido exterior también es un gran número de flujo de Reynolds, por lo que se supone que el movimiento del fluido exterior es una solución de flujo potencial, que fue resuelto por GI Taylor en 1958. Para la pluma turbulenta, el arrastre es no constante, sin embargo, el fluido externo todavía está gobernado por la solución de Taylor.
Aunque la solución de Taylor sigue siendo válida para el chorro turbulento, para el chorro laminar o la pluma laminar, se encuentra que el número de Reynolds efectivo para el fluido exterior es de orden unitario, ya que el entretenimiento por el fregadero en estos casos es tal que el flujo no es invisible. En este caso, las ecuaciones de Navier-Stokes completas deben resolverse para el movimiento del fluido exterior y, al mismo tiempo, dado que el fluido está limitado desde el fondo por una pared sólida, la solución debe satisfacer la condición de antideslizamiento. Schneider obtuvo una solución auto-similar para este movimiento de fluido externo, que naturalmente se redujo a la solución de flujo potencial de Taylor a medida que aumenta la tasa de arrastre por el sumidero de la línea.
Suponga una pared cónica de semi-ángulo con eje polar a lo largo del eje del cono y suponga que el vértice del cono sólido se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas extendiéndose a lo largo del eje negativo. Ahora, coloque la línea hundida a lo largo del lado positivo del eje polar. Establecer de esta manera,representa el caso común de pared plana con chorro o penacho que emerge del origen. El casocorresponde al chorro / penacho que emana de un inyector delgado. El flujo es axisimétrico con movimiento azimutal cero, es decir, los componentes de velocidad son. La técnica habitual para estudiar el flujo es introducir la función de flujo de Stokes tal que
Introduciendo como el reemplazo de e introduciendo la forma auto-similar en las ecuaciones simétricas de Navier-Stokes, obtenemos [5]
donde la constante es tal que la tasa de arrastre volumétrico por unidad de longitud axial es igual a . Para chorro laminar,y para la pluma laminar, depende del número de Prandtl , por ejemplo con , tenemos y con , tenemos . Para chorro turbulento, esta constante es el orden del número de Reynolds del chorro, que es un número grande.
La ecuación anterior se puede reducir fácilmente a una ecuación de Riccati integrando tres veces, un procedimiento que es el mismo que en el chorro Landau-Squire (la principal diferencia entre el chorro Landau-Squire y el problema actual son las condiciones de contorno). Las condiciones de contorno en la pared cónica. volverse
y a lo largo de la línea se hunden , tenemos
El problema se ha resuelto numéricamente a partir de aquí.
Flujo potencial de Taylor
Para chorro turbulento, , los términos lineales de la ecuación pueden despreciarse en todas partes excepto cerca de una pequeña capa límite a lo largo de la pared. Luego, despreciando las condiciones antideslizantes en la pared, la solución viene dada por
Otras Consideraciones
La solución exacta de las soluciones de Navier-Stokes fue verificada experimentalmente por Zauner en 1985. [6] Un análisis adicional [7] [8] mostró que el flujo de momento axial decae lentamente a lo largo del eje a diferencia de la solución de chorro de Schlichting y se encuentra que el El flujo de Schneider se vuelve inválido cuando la distancia desde el origen aumenta a una distancia del orden exponencial del cuadrado del número de Reynolds del chorro, por lo que el dominio de validez de la solución de Schneider aumenta al aumentar el número de Reynolds del chorro.
Presencia de remolino
La presencia de movimiento arremolinado, es decir, se muestra que no influye en el movimiento axial dado por previsto . Sies muy grande, la presencia de remolino altera completamente el movimiento en el plano axial. Para, la solución azimutal se puede resolver en términos de circulación , dónde . La solución se puede describir en términos de la solución auto-similar del segundo tipo ,, dónde es una constante desconocida y es un valor propio. La función satisface
sujeto a las condiciones de contorno y como .
Ver también
Referencias
- ^ Schneider, W. (1981). Flujo inducido por chorros y penachos. Revista de mecánica de fluidos, 108, 55–65.
- ^ AA Golubinskii y VV Sychev, Una solución similar de las ecuaciones de Navier-Stokes, Uch. Borrar. TsAGI 7 (1976) 11-17.
- ^ Rajamanickam, P. y Weiss, AD (2020). Una nota sobre el flujo viscoso inducido por fuentes de media línea limitadas por superficies cónicas. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 73 (1), 24-35.
- ^ Taylor, G. (1958). Flujo inducido por chorros. Revista de Ciencias Aeroespaciales, 25 (7), 464–465.
- ^ Coenen, W., Rajamanickam, P., Weiss, AD, Sánchez, AL y Williams, FA (2019). Flujo turbulento inducido por chorros y penachos. Acta Mechanica, 230 (6), 2221-2231.
- ^ Zauner, E. (1985). Visualización del flujo viscoso inducido por un chorro redondo. Journal of Fluid Mechanics, 154, 111-119
- ^ Mitsotakis, K., Schneider, W. y Zauner, E. (1984). Teoría de la capa límite de segundo orden de los flujos en chorro laminar. Acta mechanica, 53 (1-2), 115-123.
- ^ Schneider, W. (1985). Decaimiento del flujo de impulso en chorros sumergidos. Journal of Fluid Mechanics, 154, 91-110.