Ecuación de Langevin

En física, una ecuación de Langevin (llamada así por Paul Langevin ) es una ecuación diferencial estocástica que describe cómo evoluciona un sistema cuando se somete a una combinación de fuerzas deterministas y fluctuantes ("aleatorias"). Las variables dependientes en una ecuación de Langevin típicamente son variables colectivas (macroscópicas) que cambian lentamente en comparación con las otras variables (microscópicas) del sistema. Las variables rápidas (microscópicas) son responsables de la naturaleza estocástica de la ecuación de Langevin. Una aplicación es el movimiento browniano , que modela el movimiento fluctuante de una pequeña partícula en un fluido.

La ecuación original de Langevin ^{[1] [2]} describe el movimiento browniano , el movimiento aparentemente aleatorio de una partícula en un fluido debido a colisiones con las moléculas del fluido,

Aquí, es la velocidad de la partícula, y es su masa. La fuerza que actúa sobre la partícula se escribe como la suma de una fuerza viscosa proporcional a la velocidad de la partícula ( ley de Stokes ) y un término de ruido que representa el efecto de las colisiones con las moléculas del fluido. La fuerza tiene una distribución de probabilidad gaussiana con función de correlación${\ estilo de visualización \ mathbf {v}}$${\ estilo de visualización m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$

donde es la constante de Boltzmann , es la temperatura y es la i-ésima componente del vector . El -Función forma de los medios de correlación de tiempo que la fuerza en un momento no está correlacionado con la fuerza en cualquier otro momento. Esta es una aproximación: la fuerza aleatoria real tiene un tiempo de correlación distinto de cero correspondiente al tiempo de colisión de las moléculas. Sin embargo, la ecuación de Langevin se usa para describir el movimiento de una partícula "macroscópica" en una escala de tiempo mucho mayor, y en este límite la correlación y la ecuación de Langevin se vuelven virtualmente exactas.${\displaystyle k_{B}}$${\ estilo de visualización T}$${\ estilo de visualización \ eta _ {i} \ izquierda (t \ derecha)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$${\ estilo de visualización \ delta}$${\ estilo de visualización t}$${\ estilo de visualización \ delta}$

Otra característica común de la ecuación de Langevin es la aparición del coeficiente de amortiguamiento en la función de correlación de la fuerza aleatoria, que en un sistema en equilibrio es una expresión de la relación de Einstein .${\ estilo de visualización \ lambda}$

Circuito eléctrico formado por una resistencia y un condensador.

Desplazamientos cuadráticos simulados de partículas brownianas libres (líneas onduladas semitransparentes) en función del tiempo, para tres opciones seleccionadas de velocidad cuadrática inicial que son 0, 3kT/m y 6kT/m respectivamente, siendo 3kT/m el valor de equipartición en equilibrio térmico. Las curvas sólidas coloreadas indican los desplazamientos cuadráticos medios para las opciones de parámetros correspondientes.

Este gráfico corresponde a las soluciones de la ecuación de Langevin completa obtenida mediante el método de Euler-Maruyama . El panel izquierdo muestra la evolución temporal del retrato de fase de un oscilador armónico a diferentes temperaturas. El panel derecho captura las distribuciones de probabilidad de equilibrio correspondientes. A temperatura cero, la velocidad decae rápidamente desde su valor inicial (el punto rojo) hasta cero debido al amortiguamiento. Para temperaturas distintas de cero, la velocidad puede aumentar a valores superiores al valor inicial debido a las fluctuaciones térmicas. En tiempos prolongados, la velocidad permanece distinta de cero, y las distribuciones de posición y velocidad corresponden a las del equilibrio térmico.