En física (específicamente, la teoría cinética de los gases ) la relación de Einstein es una conexión previamente inesperada revelada independientemente por William Sutherland en 1904, [1] [2] [3] Albert Einstein en 1905, [4] y por Marian Smoluchowski en 1906 [5] en sus trabajos sobre el movimiento browniano . La forma más general de la ecuación es [6]
dónde
- D es el coeficiente de difusión ;
- μ es la "movilidad", o la relación entre la velocidad de deriva terminal de la partícula y una fuerza aplicada , μ = v d / F ;
- k B es la constante de Boltzmann ;
- T es la temperatura absoluta .
Esta ecuación es un ejemplo temprano de una relación de fluctuación-disipación . [7]
Dos formas especiales importantes de la relación que se utilizan con frecuencia son:
- ( Ecuación de Stokes-Einstein , para la difusión de partículas esféricas a través de un líquido con un número de Reynolds bajo )
Aquí
- q es la carga eléctrica de una partícula;
- μ q es la movilidad eléctrica de la partícula cargada;
- η es la viscosidad dinámica ;
- r es el radio de la partícula esférica.
Casos especiales
Ecuación de movilidad eléctrica
Para una partícula con carga eléctrica q , su movilidad eléctrica μ q está relacionada con su movilidad generalizada μ por la ecuación μ = μ q / q . El parámetro μ q es la relación entre la velocidad de deriva terminal de la partícula y un campo eléctrico aplicado . Por lo tanto, la ecuación en el caso de una partícula cargada se da como
dónde
- es el coeficiente de difusión ().
- es la movilidad eléctrica ().
- es la carga eléctrica de la partícula (C, culombios)
- es la temperatura de los electrones o de los iones en el plasma (K). [9]
Si la temperatura se da en voltios , que es más común para el plasma:
dónde
- es el número de carga de la partícula (sin unidades)
- es la temperatura de los electrones o la temperatura de los iones en plasma (V).
Ecuación de Stokes-Einstein
En el límite del número de Reynolds bajo , la movilidad μ es la inversa del coeficiente de arrastre. Una constante de amortiguaciónse utiliza con frecuencia para el tiempo de relajación del momento inverso (tiempo necesario para que el momento de inercia se vuelva insignificante en comparación con los momentos aleatorios) del objeto difusivo. Para partículas esféricas de radio r , la ley de Stokes da
dónde es la viscosidad del medio. Así, la relación de Einstein-Smoluchowski resulta en la relación de Stokes-Einstein
Esto se ha aplicado durante muchos años para estimar el coeficiente de autodifusión en líquidos, y las simulaciones por computadora del sistema Lennard-Jones han confirmado una versión consistente con la teoría de los isomorfos . [10]
En el caso de la difusión rotacional , la fricción es, y la constante de difusión rotacional es
Semiconductor
En un semiconductor con una densidad arbitraria de estados , es decir, una relación de la forma entre la densidad de huecos o electrones y el nivel de cuasi Fermi correspondiente (o potencial electroquímico ), la relación de Einstein es [11] [12]
dónde es la movilidad eléctrica (ver la sección a continuación para una prueba de esta relación). Un ejemplo suponiendo una relación de dispersión parabólica para la densidad de estados y las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , que a menudo se utilizan para describir materiales semiconductores inorgánicos , se puede calcular (ver densidad de estados ):
dónde es la densidad total de estados de energía disponibles, que da la relación simplificada:
Ecuación de Nernst-Einstein
Al reemplazar las difusividades en las expresiones de las movilidades iónicas eléctricas de los cationes y aniones a partir de las expresiones de la conductividad equivalente de un electrolito, se deriva la ecuación de Nernst-Einstein:
Prueba del caso general
La prueba de la relación de Einstein se puede encontrar en muchas referencias, por ejemplo, ver Kubo. [13]
Suponga alguna energía potencial externa fija genera una fuerza conservadora (por ejemplo, una fuerza eléctrica) sobre una partícula ubicada en una posición determinada . Suponemos que la partícula respondería moviéndose con velocidad. Ahora suponga que hay una gran cantidad de tales partículas, con concentración localen función del puesto. Después de un tiempo, se establecerá el equilibrio: las partículas se acumularán alrededor de las áreas con menor energía potencial., pero aún se extenderá hasta cierto punto debido a la difusión . En equilibrio, no hay un flujo neto de partículas: la tendencia de las partículas a ser arrastradas hacia abajo., llamada corriente de deriva , equilibra perfectamente la tendencia de las partículas a extenderse debido a la difusión, llamada corriente de difusión (ver ecuación de deriva-difusión ).
El flujo neto de partículas debido a la corriente de deriva es
es decir, el número de partículas que pasan por una posición dada es igual a la concentración de partículas multiplicada por la velocidad media.
El flujo de partículas debido a la corriente de difusión es, según la ley de Fick ,
donde el signo menos significa que las partículas fluyen de mayor a menor concentración.
Ahora considere la condición de equilibrio. Primero, no hay flujo neto, es decir. En segundo lugar, para las partículas puntuales que no interactúan, la densidad de equilibrio es únicamente una función de la energía potencial local , es decir, si dos ubicaciones tienen el mismo entonces ellos también tendrán lo mismo (p. ej., consulte las estadísticas de Maxwell-Boltzmann como se describe a continuación). Eso significa que, al aplicar la regla de la cadena ,
Por tanto, en equilibrio:
Como esta expresión se mantiene en cada posición , implica la forma general de la relación de Einstein:
La relación entre y para partículas clásicas se puede modelar a través de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann
dónde es una constante relacionada con el número total de partículas. Por lo tanto
Bajo este supuesto, al conectar esta ecuación a la relación general de Einstein se obtiene:
que corresponde a la relación clásica de Einstein.
Ver también
- Factor de Smoluchowski
- Conductividad (electrolítica)
- Radio de Stokes
- Número de transporte de iones
Referencias
- ^ Año mundial de la física - William Sutherland en la Universidad de Melbourne . Ensayo del Prof. R Home (con contribuciones del Prof B. McKellar y A./Prof D. Jamieson) con fecha de 2005. Consultado el 28 de abril de 2017.
- ^ Sutherland William (1905). "LXXV. Una teoría dinámica de la difusión de los no electrolitos y la masa molecular de la albúmina" . Revista Filosófica . Serie 6. 9 (54): 781–785. doi : 10.1080 / 14786440509463331 .
- ^ P. Hänggi, " Ecuación de Stokes-Einstein-Sutherland" .
- ^ Einstein, A. (1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" . Annalen der Physik (en alemán). 322 (8): 549–560. Código Bib : 1905AnP ... 322..549E . doi : 10.1002 / yp.19053220806 .
- ^ von Smoluchowski, M. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen" . Annalen der Physik (en alemán). 326 (14): 756–780. Código Bibliográfico : 1906AnP ... 326..756V . doi : 10.1002 / y p.19063261405 .
- ^ Eneldo, Ken A .; Bromberg, Sarina (2003). Fuerzas impulsoras moleculares: termodinámica estadística en química y biología . Garland Science. pag. 327. ISBN 9780815320517.
- ^ Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, "Fluctuación-disipación: teoría de la respuesta en física estadística" .
- ^ Van Zeghbroeck, "Principios de dispositivos semiconductores", capítulo 2.7 .
- ^ Raizer, Yuri (2001). Física de descarga de gas . Saltador. págs. 20-28. ISBN 978-3540194620.
- ^ Costigliola, Lorenzo; Heyes, David M .; Schrøder, Thomas B .; Dyre, Jeppe C. (14 de enero de 2019). "Revisando la relación de Stokes-Einstein sin un diámetro hidrodinámico" . La Revista de Física Química . 150 (2): 021101. doi : 10.1063 / 1.5080662 . ISSN 0021-9606 . PMID 30646717 .
- ^ Ashcroft, NW; Mermin, ND (1988). Física del estado sólido . Nueva York (Estados Unidos): Holt, Rineheart y Winston. pag. 826.
- ^ Bonnaud, Olivier (2006). Composants à semiconducteurs (en francés). París (Francia): Elipses. pag. 78.
- ^ Kubo, R. (1966). "El teorema de fluctuación-disipación". Rep. Prog. Phys. 29 (1): 255–284. Código Bibliográfico : 1966RPPh ... 29..255K . doi : 10.1088 / 0034-4885 / 29/1/306 .
enlaces externos
- Calculadoras de relaciones de Einstein
- difusividad iónica