En la mecánica clásica , el vector Laplace-Runge-Lenz (LRL) es un vector utilizado principalmente para describir la forma y orientación de la órbita de un cuerpo astronómico alrededor de otro, como una estrella binaria o un planeta que gira alrededor de una estrella. Para dos cuerpos que interactúan por gravedad newtoniana , el vector LRL es una constante de movimiento , lo que significa que es el mismo sin importar dónde se calcule en la órbita; [1] [2] de manera equivalente, se dice que el vector LRL está conservado . De manera más general, el vector LRL se conserva en todos los problemas en los que dos cuerpos interactúan porfuerza central que varía como el cuadrado inverso de la distancia entre ellos; estos problemas se denominan problemas de Kepler . [3] [4] [5] [6]
El átomo de hidrógeno es un problema de Kepler, ya que comprende dos partículas cargadas que interactúan según la ley de la electrostática de Coulomb , otra fuerza central del cuadrado inverso. El vector LRL fue esencial en la primera derivación mecánica cuántica del espectro del átomo de hidrógeno, [7] [8] antes del desarrollo de la ecuación de Schrödinger . Sin embargo, este enfoque rara vez se utiliza en la actualidad.
En mecánica clásica y cuántica, las cantidades conservadas generalmente corresponden a una simetría del sistema. [9] La conservación del vector LRL corresponde a una simetría inusual; el problema de Kepler es matemáticamente equivalente a una partícula que se mueve libremente sobre la superficie de una (hiper) esfera de cuatro dimensiones , [10] de modo que todo el problema es simétrico bajo ciertas rotaciones del espacio de cuatro dimensiones. [11] Esta simetría más alta resulta de dos propiedades del problema de Kepler: el vector de velocidad siempre se mueve en un círculo perfecto y, para una energía total dada , todos esos círculos de velocidad se cruzan entre sí en los mismos dos puntos. [12]
El vector Laplace-Runge-Lenz lleva el nombre de Pierre-Simon de Laplace , Carl Runge y Wilhelm Lenz . También se conoce como el vector de Laplace , [13] [14] el vector de Runge-Lenz [15] y el vector de Lenz . [8] Irónicamente, ninguno de esos científicos lo descubrió. [15] El vector LRL ha sido redescubierto y reformulado varias veces; [15] por ejemplo, es equivalente al vector de excentricidad adimensional de la mecánica celeste . [2] [14] [16] Se han definido varias generalizaciones del vector LRL, que incorporan los efectos de la relatividad especial , campos electromagnéticos e incluso diferentes tipos de fuerzas centrales. [17] [18] [19]
Contexto
Una sola partícula que se mueve bajo cualquier fuerza central conservadora tiene al menos cuatro constantes de movimiento: la energía total E y las tres componentes cartesianas del vector de momento angular L con respecto al centro de fuerza. [20] [21] La órbita de la partícula está confinada al plano definido por el momento inicial p de la partícula (o, de manera equivalente, su velocidad v ) y el vector r entre la partícula y el centro de fuerza [20] [21] (ver Figura 1). Este plano de movimiento es perpendicular al vector de momento angular constante L = r × p ; esto puede expresarse matemáticamente mediante la ecuación del producto escalar vectorial r ⋅ L = 0 . Dada su definición matemática a continuación, el vector de Laplace-Runge-Lenz (vector LRL) A es siempre perpendicular al vector de momento angular constante L para todas las fuerzas centrales ( A ⋅ L = 0 ). Por tanto, A siempre se encuentra en el plano de movimiento. Como se muestra a continuación , A apunta desde el centro de fuerza hasta la periapsis del movimiento, el punto de aproximación más cercana, y su longitud es proporcional a la excentricidad de la órbita. [1]
El vector LRL A es constante en longitud y dirección, pero solo para una fuerza central de cuadrado inverso. [1] Para otras fuerzas centrales , el vector A no es constante, pero cambia tanto en longitud como en dirección. Si la fuerza central es aproximadamente una ley del cuadrado inverso, el vector A tiene una longitud aproximadamente constante, pero gira lentamente en su dirección. [14] Un vector LRL conservado generalizado puede definirse para todas las fuerzas centrales, pero este vector generalizado es una función complicada de la posición y, por lo general, no se puede expresar en forma cerrada . [18] [19]
El vector LRL se diferencia de otras cantidades conservadas en la siguiente propiedad. Mientras que para las cantidades conservadas típicas, existe una coordenada cíclica correspondiente en el Lagrangiano tridimensional del sistema, no existe tal coordenada para el vector LRL. Por tanto, la conservación del vector LRL debe derivarse directamente, por ejemplo, mediante el método de corchetes de Poisson , como se describe a continuación. Las cantidades conservadas de este tipo se denominan "dinámicas", en contraste con las leyes de conservación "geométricas" habituales, por ejemplo, la del momento angular.
Historia del redescubrimiento
El vector LRL A es una constante de movimiento del problema de Kepler y es útil para describir órbitas astronómicas, como el movimiento de planetas y estrellas binarias. Sin embargo, nunca ha sido muy conocido entre los físicos, posiblemente porque es menos intuitivo que el momento y el momento angular. En consecuencia, se ha redescubierto de forma independiente varias veces durante los últimos tres siglos. [15]
Jakob Hermann fue el primero en demostrar que A se conserva para un caso especial de la fuerza central del cuadrado inverso, [22] y determinó su conexión con la excentricidad de la elipse orbital . El trabajo de Hermann fue generalizado a su forma moderna por Johann Bernoulli en 1710. [23] A finales de siglo, Pierre-Simon de Laplace redescubrió la conservación de A , derivándola analíticamente, en lugar de geométricamente. [24] A mediados del siglo XIX, William Rowan Hamilton derivó el vector de excentricidad equivalente definido a continuación , [16] usándolo para mostrar que el vector de momento p se mueve en un círculo para el movimiento bajo una fuerza central del cuadrado inverso (Figura 3 ). [12]
A principios del siglo XX, Josiah Willard Gibbs derivó el mismo vector mediante análisis vectorial . [25] La derivación de Gibbs fue utilizada como ejemplo por Carl Runge en un popular libro de texto alemán sobre vectores, [26] que fue referenciado por Wilhelm Lenz en su artículo sobre el (antiguo) tratamiento mecánico cuántico del átomo de hidrógeno. [27] En 1926, Wolfgang Pauli usó el vector LRL para derivar los niveles de energía del átomo de hidrógeno usando la formulación de la mecánica de la matriz de la mecánica cuántica, [7] después de lo cual se conoció principalmente como el vector de Runge-Lenz . [15]
Definición matemática
Una fuerza central de cuadrado inverso que actúa sobre una sola partícula se describe mediante la ecuación
La energía potencial correspondiente viene dada por. El parámetro constante k describe la fuerza de la fuerza central; es igual a G ⋅ M ⋅ m para las fuerzas gravitacionales y - k e ⋅ Q ⋅ q para las fuerzas electrostáticas. La fuerza es atractiva si k > 0 y repulsiva si k <0.
El vector LRL A se define matemáticamente mediante la fórmula [1]
dónde
- m es la masa de la partícula puntual que se mueve bajo la fuerza central,
- p es su vector de impulso,
- L = r × p es su vector de momento angular,
- r es el vector de posición de la partícula (Figura 1),
- es el vector unitario correspondiente , es decir,, y
- r es la magnitud de r , la distancia de la masa desde el centro de fuerza.
Las unidades SI del vector LRL son joule-kilogramo-metro (J⋅kg⋅m). Esto se deduce porque las unidades de p y L son kg⋅m / s y J⋅s, respectivamente. Esto concuerda con las unidades de m (kg) y de k (N⋅m 2 ).
Esta definición del vector LRL A pertenece a una partícula de un solo punto de masa m que se mueve bajo la acción de una fuerza fija. Sin embargo, la misma definición puede extenderse a problemas de dos cuerpos , como el problema de Kepler, tomando m como la masa reducida de los dos cuerpos y r como el vector entre los dos cuerpos.
Dado que la fuerza asumida es conservadora, la energía total E es una constante de movimiento,
La fuerza asumida también es una fuerza central. Por tanto, el vector de momento angular L también se conserva y define el plano en el que viaja la partícula. El LIF vector A es perpendicular al impulso vector angular L debido a que tanto p × L y r son perpendiculares a L . De ello se deduce que A se encuentra en el plano de movimiento.
Las formulaciones alternativas para la misma constante de movimiento pueden ser definidos, por lo general mediante el escalado del vector con constantes, tanto como la masa m , el parámetro de fuerza k o el momento angular L . [15] La variante más común es dividir A por mk , lo que produce el vector de excentricidad, [2] [16] un vector adimensional a lo largo del semieje mayor cuyo módulo es igual a la excentricidad de la cónica:
Una formulación equivalente [14] multiplica este vector de excentricidad por el semieje mayor a , dando al vector resultante las unidades de longitud. Sin embargo, otra formulación [28] divide A por, dando una cantidad conservada equivalente con unidades de longitud inversa, una cantidad que aparece en la solución del problema de Kepler
dónde es el ángulo entre A y el vector de posición r . A continuación se dan otras formulaciones alternativas .
Derivación de las órbitas de Kepler
La forma y orientación de las órbitas se pueden determinar a partir del vector LRL como sigue. [1] Tomando el producto escalar de A con el vector de posición r se obtiene la ecuación
donde θ es el ángulo entre r y A (Figura 2). Permutando los rendimientos del producto triple escalar
El reordenamiento produce la solución para la ecuación de Kepler
Esto corresponde a la fórmula para una sección cónica de excentricidad e
donde la excentricidad y C es una constante. [1]
Tomando el producto escalar de A consigo mismo se obtiene una ecuación que involucra la energía total E , [1]
que puede reescribirse en términos de excentricidad, [1]
Por tanto, si la energía E es negativa (órbitas ligadas), la excentricidad es menor que uno y la órbita es una elipse. Por el contrario, si la energía es positiva (órbitas libres, también llamadas "órbitas dispersas" [1] ), la excentricidad es mayor que uno y la órbita es una hipérbola . [1] Finalmente, si la energía es exactamente cero, la excentricidad es uno y la órbita es una parábola . [1] En todos los casos, la dirección de A se encuentra a lo largo del eje de simetría de la sección cónica y apunta desde el centro de fuerza hacia la periapsis, el punto de aproximación más cercana. [1]
Hodógrafos de impulso circular
La conservación del vector LRL A y del vector de momento angular L es útil para mostrar que el vector de momento p se mueve en un círculo bajo una fuerza central del cuadrado inverso. [12] [15]
Tomando el producto escalar de
consigo mismo cede
Además, si se elige L a lo largo del eje z , y el semieje mayor como el eje x , se obtiene la ecuación del lugar geométrico para p ,
En otras palabras, el vector de momento p está confinado a un círculo de radio mk / L = L / ℓ centrado en (0, A / L ) . [29] La excentricidad e corresponde al coseno del ángulo η que se muestra en la Figura 3.
En el límite degenerado de las órbitas circulares, y así desapareciendo A , el círculo se centra en el origen (0,0). Por brevedad, también es útil introducir la variable.
Esta hodógrafa circular es útil para ilustrar la simetría del problema de Kepler.
Constantes de movimiento y superintegrabilidad
Las siete cantidades escalares E , A y L (siendo vectores, las dos últimas contribuyen con tres cantidades conservadas cada una) están relacionadas por dos ecuaciones, A ⋅ L = 0 y A 2 = m 2 k 2 + 2 mEL 2 , dando cinco constantes independientes de movimiento . (Dado que la magnitud de A , por lo tanto la excentricidad e de la órbita, se puede determinar a partir del momento angular total L y la energía E , solo la dirección de A se conserva independientemente; además, dado que A debe ser perpendicular a L , contribuye sólo una cantidad conservada adicional.)
Esto es consistente con las seis condiciones iniciales (la posición inicial de la partícula y los vectores de velocidad, cada uno con tres componentes) que especifican la órbita de la partícula, ya que el tiempo inicial no está determinado por una constante de movimiento. La órbita unidimensional resultante en el espacio de fase de 6 dimensiones está, por tanto, completamente especificada.
Un sistema mecánico con d grados de libertad puede tener como máximo 2 d - 1 constantes de movimiento, ya que hay 2 d condiciones iniciales y el tiempo inicial no puede ser determinado por una constante de movimiento. Un sistema con más de d constantes de movimiento se denomina superintegrable y un sistema con 2 d - 1 constantes se denomina superintegrable máximo . [30] Dado que la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi en un sistema de coordenadas solo puede producir d constantes de movimiento, los sistemas superintegrables deben ser separables en más de un sistema de coordenadas. [31] El problema de Kepler es superintegrable al máximo, ya que tiene tres grados de libertad ( d = 3 ) y cinco constantes de movimiento independientes; su ecuación de Hamilton-Jacobi es separable en ambas coordenadas esféricas y coordenadas parabólicas , [17] como se describe a continuación .
Los sistemas máximamente superintegrables siguen órbitas cerradas unidimensionales en el espacio de fase , ya que la órbita es la intersección de las isosuperficies del espacio de fase de sus constantes de movimiento. En consecuencia, las órbitas son perpendiculares a todos los gradientes de todas estas isosuperficies independientes, cinco en este problema específico, y por lo tanto están determinadas por los productos cruzados generalizados de todos estos gradientes. Como resultado, todos los sistemas superintegrables son automáticamente describibles por la mecánica de Nambu , [32] de manera alternativa y equivalente a la mecánica hamiltoniana .
Los sistemas máximamente superintegrables se pueden cuantificar utilizando relaciones de conmutación , como se ilustra a continuación . [33] Sin embargo, de manera equivalente, también se cuantifican en el marco de Nambu, como este problema clásico de Kepler en el átomo de hidrógeno cuántico. [34]
Evolución bajo potenciales perturbados
El Vector de Runge-Lenz A se conserva sólo por una fuerza central de la inversa del cuadrado perfecto. En la mayoría de los problemas prácticos, como el movimiento planetario, sin embargo, la energía potencial de interacción entre dos cuerpos no es exactamente una ley del cuadrado inverso, sino que puede incluir una fuerza central adicional, la llamada perturbación descrita por una energía potencial h ( r ) . En tales casos, el vector LRL gira lentamente en el plano de la órbita, lo que corresponde a una lenta precesión absidal de la órbita.
Por supuesto, el potencial perturbador h ( r ) es una fuerza central conservadora, lo que implica que la energía total E y el vector de momento angular L. se conservan. Por lo tanto, el movimiento todavía se encuentra en un plano perpendicular a L y la magnitud A se conserva, de la ecuación A 2 = m 2 k 2 + 2 mEL 2 . El potencial de perturbación h ( r ) puede ser cualquier tipo de función, pero debería ser significativamente más débil que la fuerza del cuadrado inverso principal entre los dos cuerpos.
La velocidad a la que gira el vector LRL proporciona información sobre el potencial perturbador h ( r ) . Usando la teoría de la perturbación canónica y las coordenadas del ángulo de acción , es sencillo mostrar [1] que A gira a una tasa de,
donde T es el período orbital y la identidad L dt = m r 2 dθ se utilizó para convertir la integral de tiempo en una integral angular (Figura 5). La expresión entre paréntesis angulares, ⟨ h ( r )⟩ , representa el potencial perturbador, pero un promedio de más de un periodo completo; es decir, promediado sobre un paso completo del cuerpo alrededor de su órbita. Matemáticamente, este promedio de tiempo corresponde a la siguiente cantidad entre llaves. Este promedio ayuda a suprimir las fluctuaciones en la velocidad de rotación.
Este enfoque se utilizó para ayudar a verificar la teoría de la relatividad general de Einstein , que agrega una pequeña perturbación cúbica inversa efectiva al potencial gravitacional newtoniano normal, [35]
Insertar esta función en la integral y usar la ecuación
para expresar r en términos de θ , se calcula que la tasa de precesión de la periapsis causada por esta perturbación no newtoniana es [35]
que se asemeja mucho a la precesión anómala observada de Mercurio [36] y los púlsares binarios . [37] Este acuerdo con el experimento es una fuerte evidencia de la relatividad general. [38] [39]
Soportes de Poisson
Las funciones sin escala
La estructura algebraica del problema es, como se explica en secciones posteriores, SO (4) / ℤ 2 ~ SO (3) × SO (3). [11] Las tres componentes L i del vector de momento angular L tienen los corchetes de Poisson [1]
donde i = 1,2,3 y ϵ ijs es el tensor completamente antisimétrico , es decir, el símbolo Levi-Civita ; el índice de suma s se utiliza aquí para evitar confusiones con el parámetro de fuerza k definido anteriormente . Entonces, dado que el vector LRL A se transforma como un vector, tenemos las siguientes relaciones entre corchetes de Poisson entre A y L : [40]
Finalmente, las relaciones entre corchetes de Poisson entre los diferentes componentes de A son las siguientes: [41]
dónde es el hamiltoniano. Tenga en cuenta que el lapso de los componentes de A y los componentes de L no se cierra bajo paréntesis de Poisson, debido al factor de en el lado derecho de esta última relación.
Finalmente, dado que tanto L como A son constantes de movimiento, tenemos
Los corchetes de Poisson se extenderán a las relaciones de conmutación de la mecánica cuántica en la siguiente sección y a los corchetes de Lie en la siguiente sección .
Las funciones escaladas
Como se indica a continuación , un vector D escalado de Laplace-Runge-Lenz puede definirse con las mismas unidades que el momento angular dividiendo A por. Dado que D todavía se transforma como un vector, los corchetes de Poisson de D con el vector de momento angular L se pueden escribir en una forma similar [11] [8]
Los corchetes de Poisson de D con sí dependen de la señal de H , es decir, de si la energía es negativa (produciendo cerrado, órbitas elípticas bajo una fuerza central del cuadrado inverso) o positiva (que produce órbitas abiertas, hiperbólicas en virtud de un centro de la inversa del cuadrado fuerza). Para energías negativas , es decir, para sistemas ligados, los corchetes de Poisson son [42]
Ahora podemos apreciar la motivación para la escala elegida de D : con esta escala, el hamiltoniano ya no aparece en el lado derecho de la relación anterior. Por tanto, la amplitud de los tres componentes de L y los tres componentes de D forma un álgebra de Lie de seis dimensiones bajo el paréntesis de Poisson. Este álgebra de Lie es isomórfica a so (4), el álgebra de Lie del grupo de rotación de 4 dimensiones SO (4). [43]
Por el contrario, para la energía positiva , los corchetes de Poisson tienen el signo opuesto,
En este caso, el álgebra de Lie es isomórfica a so (3,1).
La distinción entre energías positivas y negativas surge porque la escala deseada —la que elimina el hamiltoniano del lado derecho del paréntesis de Poisson entre los componentes del vector LRL escalado— involucra la raíz cuadrada del hamiltoniano. Para obtener funciones con valores reales, debemos tomar el valor absoluto del hamiltoniano, que distingue entre valores positivos (donde) y valores negativos (donde ).
Invariantes de Casimir y los niveles de energía
Los invariantes de Casimir para energías negativas son
y tienen corchetes de Poisson que desaparecen con todos los componentes de D y L ,
C 2 es trivialmente cero, ya que los dos vectores son siempre perpendiculares.
Sin embargo, el otro invariante, C 1 , no es trivial y sólo depende de m , k y E . Tras la cuantificación canónica, este invariante permite derivar los niveles de energía de los átomos similares al hidrógeno utilizando solo relaciones de conmutación canónica de la mecánica cuántica, en lugar de la solución convencional de la ecuación de Schrödinger. [8] [43] Esta derivación se analiza en detalle en la siguiente sección.
Mecánica cuántica del átomo de hidrógeno
Los corchetes de Poisson proporcionan una guía sencilla para cuantificar la mayoría de los sistemas clásicos: la relación de conmutación de dos operadores de mecánica cuántica se especifica mediante el corchete de Poisson de las correspondientes variables clásicas, multiplicado por iħ . [44]
Al realizar esta cuantificación y calcular los valores propios del operador C 1 Casimir para el problema de Kepler, Wolfgang Pauli pudo derivar los niveles de energía de los átomos similares al hidrógeno (Figura 6) y, por lo tanto, su espectro de emisión atómica. [7] Esta elegante derivación de 1926 se obtuvo antes del desarrollo de la ecuación de Schrödinger . [45]
Una sutileza del operador mecánico cuántico para el vector LRL A es que los operadores de momento y momento angular no se conmutan; por lo tanto, el producto cruzado del operador cuántico de p y L debe definirse cuidadosamente. [8] Por lo general, los operadores para los componentes cartesianos A s se definen utilizando un producto simétrizado (hermitiano),
Una vez hecho esto, se puede demostrar que los operadores cuánticos LRL satisfacen relaciones de conmutación exactamente análogas a las relaciones entre corchetes de Poisson en la sección anterior, simplemente reemplazando el corchete de Poisson con veces el conmutador. [46] [47]
A partir de estos operadores, se pueden definir operadores de escalera adicionales para L ,
Estos además conectan diferentes estados propios de L 2 , por lo que diferentes spin multipletes, entre ellos.
Un primer operador invariante de Casimir normalizado, análogo cuántico del anterior, también se puede definir,
donde H −1 es la inversa del operador de energía hamiltoniano e I es el operador de identidad .
Aplicación de estos operadores de escalera a los estados propios | ℓ mn〉 del momento angular total, el momento angular azimutal y los operadores de energía , se observa que los valores propios del primer operador de Casimir, C 1 , están cuantificados, n 2 - 1 . Es importante destacar que, a fuerza de la desaparición de C 2 , son independientes de los números cuánticos ℓ y m , lo que hace que los niveles de energía se degeneren . [8]
Por lo tanto, los niveles de energía están dados por
que coincide con la fórmula de Rydberg para átomos similares al hidrógeno (Figura 6). Los operadores de simetría adicionales A han conectado los diferentes multipletes ℓ entre sí, para una energía dada (y C 1 ), dictando n 2 estados en cada nivel. En efecto, han ampliado el grupo de momento angular SO (3) a SO (4) / ℤ 2 ~ SO (3) × SO (3). [48]
Conservación y simetría
La conservación del vector LRL corresponde a una simetría sutil del sistema. En la mecánica clásica , las simetrías son operaciones continuas que asignan una órbita a otra sin cambiar la energía del sistema; en mecánica cuántica, las simetrías son operaciones continuas que "mezclan" orbitales electrónicos de la misma energía, es decir, niveles de energía degenerados. Una cantidad conservada generalmente se asocia con tales simetrías. [1] Por ejemplo, cada fuerza central es simétrica bajo el SO grupo de rotación (3) , lo que lleva a la conservación del momento angular L . Clásicamente, una rotación general del sistema no afecta la energía de una órbita; mecánicamente cuántica, las rotaciones mezclan los armónicos esféricos del mismo número cuántico l sin cambiar la energía.
La simetría de la fuerza central del cuadrado inverso es mayor y más sutil. La simetría peculiar del problema de Kepler da como resultado la conservación tanto del vector de momento angular L como del vector LRL A (como se definió anteriormente ) y, mecánicamente cuántica, asegura que los niveles de energía del hidrógeno no dependen de los números cuánticos de momento angular l y m . Sin embargo, la simetría es más sutil porque la operación de simetría debe tener lugar en un espacio de dimensiones superiores ; tales simetrías a menudo se denominan "simetrías ocultas". [49]
Clásicamente, la mayor simetría del problema de Kepler permite alteraciones continuas de las órbitas que preservan la energía pero no el momento angular; Expresado de otra manera, las órbitas de la misma energía pero diferente momento angular (excentricidad) pueden transformarse continuamente entre sí. Mecánicamente cuántico, esto corresponde a la mezcla de orbitales que difieren en los números cuánticos l y m , como los orbitales atómicos s ( l = 0 ) y p ( l = 1 ). Tal mezcla no se puede hacer con traslaciones o rotaciones tridimensionales ordinarias, pero es equivalente a una rotación en una dimensión superior.
Para energías negativas , es decir, para sistemas ligados, el grupo de simetría superior es SO (4), que conserva la longitud de los vectores de cuatro dimensiones.
En 1935, Vladimir Fock demostró que el problema de Kepler ligado a la mecánica cuántica es equivalente al problema de una partícula libre confinada a una esfera unitaria tridimensional en un espacio de cuatro dimensiones. [10] Específicamente, Fock mostró que la función de onda de Schrödinger en el espacio de impulso para el problema de Kepler era la proyección estereográfica de los armónicos esféricos en la esfera. La rotación de la esfera y la reproyección dan como resultado un mapeo continuo de las órbitas elípticas sin cambiar la energía; mecánicamente cuántica, esto corresponde a una mezcla de todos los orbitales del mismo número cuántico de energía n . Valentine Bargmann observó posteriormente que los corchetes de Poisson para el vector de momento angular L y el vector LRL escalado D formaban el álgebra de Lie para SO (4). [11] [42] En pocas palabras, las seis cantidades D y L corresponden a los seis momentos angulares conservados en cuatro dimensiones, asociados con las seis posibles rotaciones simples en ese espacio (hay seis formas de elegir dos ejes entre cuatro). Esta conclusión no implica que nuestro universo sea una esfera tridimensional; simplemente significa que este problema de física particular (el problema de dos cuerpos para fuerzas centrales cuadradas inversas) es matemáticamente equivalente a una partícula libre en una esfera tridimensional.
Para energías positivas , es decir, para sistemas "dispersos" no unidos, el grupo de simetría más alta es SO (3,1) , que conserva la longitud de Minkowski de los 4 vectores.
Fock [10] y Bargmann [11] consideraron los casos de energía negativa y positiva, y Bander e Itzykson los revisaron enciclopédicamente. [50] [51]
Las órbitas de los sistemas de fuerzas centrales, y las del problema de Kepler en particular, también son simétricas bajo reflexión . Por lo tanto, los grupos SO (3), SO (4) y SO (3,1) citados anteriormente no son los grupos de simetría completa de sus órbitas; los grupos completos son O (3) , O (4) y O (3,1) , respectivamente. Sin embargo, solo los subgrupos conectados , SO (3), SO (4) y SO (3,1), son necesarios para demostrar la conservación del momento angular y los vectores LRL; la simetría de reflexión es irrelevante para la conservación, que puede derivarse del álgebra de Lie del grupo.
Simetría rotacional en cuatro dimensiones
La conexión entre el problema de Kepler y la simetría rotacional de cuatro dimensiones SO (4) se puede visualizar fácilmente. [50] [52] [53] Denoten las coordenadas cartesianas de cuatro dimensiones ( w , x , y , z ) donde ( x , y , z ) representan las coordenadas cartesianas del vector de posición normal r . El vector de momento tridimensional p está asociado con un vector de cuatro dimensiones en una esfera unitaria tridimensional
dónde es el vector unitario a lo largo del nuevo eje w . El mapeo de transformación p a η se puede invertir unívocamente; por ejemplo, el componente x del momento es igual a
y de manera similar para p y y p z . En otras palabras, el vector tridimensional p es una proyección estereográfica de lavector, escalado por p 0 (Figura 8).
Sin pérdida de generalidad, podemos eliminar la simetría rotacional normal eligiendo las coordenadas cartesianas de manera que el eje z esté alineado con el vector de momento angular L y las hodógrafos de momento estén alineadas como en la Figura 7, con los centros de los círculos en el eje y . Dado que el movimiento es plana, y p y L son perpendiculares, p z = η z = 0 y la atención puede estar restringido al vector tridimensional= ( η w , η x , η y ) . La familia de círculos apolíneos de hodógrafos de impulso (Figura 7) corresponde a una familia de grandes círculos en el tridimensionalesfera, todas las cuales intersecan el eje η x en los dos focos η x = ± 1 , correspondiente a los focos de hodógrafa de momento en p x = ± p 0 . Estos grandes círculos están relacionados por una simple rotación sobre el eje η x (Figura 8). Esta simetría rotacional transforma todas las órbitas de la misma energía entre sí; sin embargo, dicha rotación es ortogonal a las rotaciones tridimensionales habituales, ya que transforma la cuarta dimensión η w . Esta mayor simetría es característica del problema de Kepler y corresponde a la conservación del vector LRL.
Se puede obtener una elegante solución de variables de ángulo de acción para el problema de Kepler eliminando las coordenadas de cuatro dimensiones redundantesa favor de coordenadas cilíndricas elípticas ( χ , ψ , φ ) [54]
donde sn, cn y dn son funciones elípticas de Jacobi .
Generalizaciones a otros potenciales y relatividad.
El vector de Laplace-Runge-Lenz también se puede generalizar para identificar cantidades conservadas que se aplican a otras situaciones.
En presencia de un campo eléctrico uniforme E , el vector generalizado de Laplace-Runge-Lenzes [17] [55]
donde q es la carga de la partícula en órbita. Aunque no se conserva, da lugar a una cantidad conservada, a saber .
Si se generaliza aún más el vector de Laplace-Runge-Lenz a otros potenciales y la relatividad especial , la forma más general se puede escribir como [18]
donde u = 1 / r y ξ = cos θ , con el ángulo θ definido por
y γ es el factor de Lorentz . Como antes, podemos obtener un vector binormal conservado B tomando el producto cruzado con el vector de momento angular conservado
Estos dos vectores también pueden combinarse en un tensor diádico conservado W ,
A modo de ilustración, se puede calcular el vector LRL para un oscilador armónico isotrópico no relativista. [18] Dado que la fuerza es central,
el vector de momento angular se conserva y el movimiento se encuentra en un plano.
El tensor diádico conservado se puede escribir en una forma simple
aunque p y r no son necesariamente perpendicular.
El vector de Runge-Lenz correspondiente es más complicado,
dónde
es la frecuencia de oscilación natural, y
Pruebas de que el vector de Laplace-Runge-Lenz se conserva en los problemas de Kepler
Los siguientes son argumentos que muestran que el vector LRL se conserva bajo fuerzas centrales que obedecen a una ley del cuadrado inverso.
Prueba directa de conservación
Una fuerza central actuando sobre la partícula es
para alguna función del radio . Dado que el momento angular se conserva bajo fuerzas centrales, y
donde el impulso y donde el producto triple cruzado se ha simplificado utilizando la fórmula de Lagrange
La identidad
produce la ecuación
Para el caso especial de una fuerza central de cuadrado inverso , esto es igual
Por lo tanto, A se conserva para fuerzas centrales de cuadrado inverso [56]
Se obtiene una prueba más corta usando la relación del momento angular con la velocidad angular, , que es válido para una partícula que viaja en un plano perpendicular a . Especificando fuerzas centrales de cuadrado inverso, la derivada de tiempo de es
donde se cumple la última igualdad porque un vector unitario solo puede cambiar por rotación, y es la velocidad orbital del vector giratorio. Por lo tanto, se ve que A es una diferencia de dos vectores con derivadas de tiempo iguales.
Como se describe en otra parte de este artículo , este vector LRL A es un caso especial de un vector conservado generalque se puede definir para todas las fuerzas centrales. [18] [19] Sin embargo, dado que la mayoría de las fuerzas centrales no producen órbitas cerradas (ver teorema de Bertrand ), el vector análogorara vez tiene una definición simple y es generalmente una función de varios valores del ángulo θ entre r y.
Ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas
La constancia del vector LRL también se puede derivar de la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas ( ξ , η ) , que están definidas por las ecuaciones
donde r representa el radio en el plano de la órbita
La inversión de estas coordenadas es
La separación de la ecuación de Hamilton-Jacobi en estas coordenadas produce las dos ecuaciones equivalentes [17] [57]
donde Γ es una constante de movimiento. La resta y la reexpresión en términos de los momentos cartesianos p x y p y muestran que Γ es equivalente al vector LRL
Teorema de noether
La conexión entre la simetría rotacional descrita anteriormente y la conservación del vector LRL puede hacerse cuantitativa mediante el teorema de Noether . Este teorema, que se utiliza para encontrar constantes de movimiento, establece que cualquier variación infinitesimal de las coordenadas generalizadas de un sistema físico
que hace que el lagrangiano varíe a primer orden por una derivada de tiempo total
corresponde a una cantidad conservada Γ
En particular, el componente A s del vector LRL conservado corresponde a la variación en las coordenadas [58]
donde i es igual a 1, 2 y 3, siendo x i y p i las i- ésimas componentes de los vectores de posición y momento r y p , respectivamente; como de costumbre, δ se representa la delta de Kronecker . El cambio de primer orden resultante en el lagrangiano es
La sustitución en la fórmula general de la cantidad conservada Γ produce el componente A s conservado del vector LRL,
Transformación de mentiras
La derivación del teorema de Noether de la conservación del vector LRL A es elegante, pero tiene un inconveniente: la variación de coordenadas δx i involucra no solo la posición r , sino también el momento p o, de manera equivalente, la velocidad v . [59] Este inconveniente puede eliminarse derivando en cambio la conservación de A utilizando un enfoque iniciado por Sophus Lie . [60] [61] Específicamente, se puede definir una transformación de Lie [49] en la que las coordenadas ry el tiempo t se escalan por diferentes potencias de un parámetro λ (Figura 9),
Esta transformación cambia el momento angular total L y la energía E ,
pero conserva su producto EL 2 . Por tanto, la excentricidad ey la magnitud A se conservan, como puede verse en la ecuación para A 2
La dirección de A también se conserva, ya que los semiejes no se ven alterados por una escala global. Esta transformación también conserva la tercera ley de Kepler , a saber, que el semieje una y el período T forman una constante T 2 / un 3 .
Escalas, símbolos y formulaciones alternativas
A diferencia de los vectores de momento y momento angular p y L , no existe una definición universalmente aceptada del vector de Laplace-Runge-Lenz; En la literatura científica se utilizan varios factores y símbolos de escala diferentes. La definición más común se da arriba , pero otra alternativa común es dividir por la constante mk para obtener un vector de excentricidad conservado adimensional.
donde v es el vector de velocidad. Este vector escalado e tiene la misma dirección que A y su magnitud es igual a la excentricidad de la órbita, por lo que desaparece para las órbitas circulares.
También son posibles otras versiones escaladas, por ejemplo, dividiendo A por m solo
o por p 0
que tiene las mismas unidades que el impulso vector angular L .
En casos raros, el signo del vector LRL puede invertirse, es decir, escalado en -1. Otros símbolos comunes para el vector LRL incluyen una , R , F , J y V . Sin embargo, la elección de escala y símbolo para el vector LRL no afecta su conservación.
Un vector conservado alternativo es el vector binormal B estudiado por William Rowan Hamilton, [16]
que se conserva y apunta a lo largo del semieje menor de la elipse. (No se define por excentricidad que se desvanece).
El vector LRL A = B × L es el producto cruzado de B y L (Figura 4). En la hodógrafa impulso en la sección pertinente anterior, B se ve fácilmente para conectar el origen de momentos con el centro de la hodógrafa circular, y poseer magnitud A / L . En el perihelio, apunta en la dirección del impulso.
El vector B se denota como "binormal" ya que es perpendicular tanto a A y L . Similar al vector LRL en sí, el vector binormal se puede definir con diferentes escalas y símbolos.
Los dos vectores conservados, A y B, se pueden combinar para formar un tensor diádico conservado W , [18]
donde α y β son constantes de escala arbitrarias yrepresenta el producto tensorial (que no está relacionado con el producto cruzado vectorial , a pesar de su símbolo similar). Escrita en componentes explícitos, esta ecuación se lee
Al ser perpendiculares entre sí, los vectores A y B pueden verse como los ejes principales del tensor conservado W , es decir, sus autovectores escalados . W es perpendicular a L ,
dado que A y B también son perpendiculares a L , L ⋅ A = L ⋅ B = 0 .
Más directamente, esta ecuación se lee, en componentes explícitos,
Ver también
- Astrodinámica : Órbita , Vector de excentricidad , Elementos orbitales
- Teorema de bertrand
- Ecuación de Binet
- Problema de dos cuerpos
Referencias
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Addison Wesley. págs. 102-105, 421-422.
- ^ a b c Taff, LG (1985). Mecánica celeste: una guía computacional para el practicante . Nueva York: John Wiley and Sons. págs. 42–43.
- ^ Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Addison Wesley. págs. 94-102.
- ^ Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 38 . ISBN 0-387-96890-3.
- ^ Sommerfeld, A. (1964). Mecánica . Conferencias de Física Teórica. 1 . Traducido por Martin O. Stern (4ª ed.). Nueva York: Academic Press. págs. 38–45.
- ^ Lanczos, C. (1970). Los Principios Variacionales de la Mecánica (4ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 118, 129, 242, 248.
- ^ a b c Pauli, W. (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336–363. Bibcode : 1926ZPhy ... 36..336P . doi : 10.1007 / BF01450175 .
- ^ a b c d e f Bohm, A. (1993). Mecánica cuántica: fundamentos y aplicaciones (3ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 205–222.
- ^ Hanca, J .; Tulejab, S .; Hancova, M. (2004). "Simetrías y leyes de conservación: consecuencias del teorema de Noether" . Revista estadounidense de física . 72 (4): 428–35. Código bibliográfico : 2004AmJPh..72..428H . doi : 10.1119 / 1.1591764 .
- ^ a b c Fock, V. (1935). "Zur Theorie des Wasserstoffatoms". Zeitschrift für Physik . 98 (3-4): 145-154. Código Bibliográfico : 1935ZPhy ... 98..145F . doi : 10.1007 / BF01336904 .
- ^ a b c d e Bargmann, V. (1936). "Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock". Zeitschrift für Physik . 99 (7–8): 576–582. Código Bibliográfico : 1936ZPhy ... 99..576B . doi : 10.1007 / BF01338811 .
- ^ a b c Hamilton, WR (1847). "La hodógrafa o un nuevo método de expresar en lenguaje simbólico la ley de atracción newtoniana". Actas de la Real Academia Irlandesa . 3 : 344–353.
- ^ Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Addison Wesley. pag. 421.
- ^ a b c d Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 413-415]. ISBN 0-387-96890-3.
- ^ a b c d e f g Goldstein, H. (1975). "Prehistoria del vector Runge-Lenz". Revista estadounidense de física . 43 (8): 737–738. Código Bibliográfico : 1975AmJPh..43..737G . doi : 10.1119 / 1.9745 .
Goldstein, H. (1976). "Más sobre la prehistoria del vector Runge-Lenz". Revista estadounidense de física . 44 (11): 1123–1124. Código bibliográfico : 1976AmJPh..44.1123G . doi : 10.1119 / 1.10202 . - ^ a b c d Hamilton, WR (1847). "Aplicaciones de los cuaterniones a algunas cuestiones dinámicas". Actas de la Real Academia Irlandesa . 3 : Apéndice III.
- ^ a b c d Landau, LD ; Lifshitz EM (1976). Mecánica (3ª ed.). Pergamon Press. pag. 154 . ISBN 0-08-021022-8.
- ^ a b c d e f Fradkin, DM (1967). "Existencia de las simetrías dinámicas O 4 y SU 3 para todos los problemas de potencial central clásico" . Progreso de la Física Teórica . 37 (5): 798–812. Código Bibliográfico : 1967PThPh..37..798F . doi : 10.1143 / PTP.37.798 .
- ^ a b c Yoshida, T. (1987). "Dos métodos de generalización del vector de Laplace-Runge-Lenz". Revista europea de física . 8 (4): 258-259. Código Bibliográfico : 1987EJPh .... 8..258Y . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 8/4/005 .
- ^ a b Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Addison Wesley. págs. 1-11.
- ^ a b Symon, KR (1971). Mecánica (3ª ed.). Addison Wesley. págs. 103-109, 115-128.
- ^ Hermann, J. (1710). "Metodo d'investigare l'Orbite de 'Pianeti, nell' ipotesi che le forze centrali o pure le gravità degli stessi Pianeti sono in ragione reciproca de 'quadrati delle distanze, che i medesimi tengono dal Centro, a cui si dirigono le forze stesse ". Giornale de Letterati d'Italia . 2 : 447–467.
Hermann, J. (1710). "Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710". Histoire de l'Académie Royale des Sciences (París) . 1732 : 519-521. - ^ Bernoulli, J. (1710). "Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710". Histoire de l'Académie Royale des Sciences (París) . 1732 : 521–544.
- ^ Laplace, PS (1799). Traité de mécanique celeste . Tomo I, Premiere Partie, Livre II, págs.165ff.
- ^ Gibbs, JW ; Wilson EB (1901). Análisis vectorial . Nueva York: Scribners. pag. 135 .
- ^ Runge, C. (1919). Vektoranalysis . Yo . Leipzig: Hirzel.
- ^ Lenz, W. (1924). "Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung". Zeitschrift für Physik . 24 (1): 197–207. Código bibliográfico : 1924ZPhy ... 24..197L . doi : 10.1007 / BF01327245 .
- ^ Symon, KR (1971). Mecánica (3ª ed.). Addison Wesley. págs. 130-131.
- ^ El vector de Hamilton binormal conservado en este plano de impulso (rosa) tiene un significado geométrico más simple, y en realidad puede suplantarlo, ya que , ver Patera, RP (1981). "Derivación del momento-espacio del vector de Runge-Lenz", Am. J. Phys 49 593–594. Tiene una longitud A / L y se analiza en la sección # Escalas, símbolos y formulaciones alternativas .
- ^ Evans, NW (1990). "Superintegrabilidad en mecánica clásica". Physical Review A . 41 (10): 5666–5676. Código Bibliográfico : 1990PhRvA..41.5666E . doi : 10.1103 / PhysRevA.41.5666 .
- ^ Sommerfeld, A. (1923). Estructura atómica y líneas espectrales . Londres: Methuen. pag. 118.
- ^ Curtright, T .; Zachos C. (2003). "Mecánica clásica y cuántica del Nambu". Revisión física . D68 (8): 085001. arXiv : hep-th / 0212267 . Código Bibliográfico : 2003PhRvD..68h5001C . doi : 10.1103 / PhysRevD.68.085001 .
- ^ Evans, NW (1991). "Teoría de grupos del sistema Smorodinsky-Winternitz". Revista de Física Matemática . 32 (12): 3369–3375. Código Bibliográfico : 1991JMP .... 32.3369E . doi : 10.1063 / 1.529449 .
- ^ Zachos, C .; Curtright T. (2004). "Branes, corchetes cuánticos de Nambu y el átomo de hidrógeno". Revista Checa de Física . 54 (11): 1393-1398. arXiv : matemáticas-ph / 0408012 . Código Bibliográfico : 2004CzJPh..54.1393Z . doi : 10.1007 / s10582-004-9807-x .
- ^ a b Einstein, A. (1915). "Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften . 1915 : 831–839.
- ^ Le Verrier, UJJ (1859). "Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de cette Planète". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 49 : 379–383.
- ^ Will, CM (1979). Relatividad general, una encuesta del siglo de Einstein (SW Hawking y W Israel ed.). Cambridge: Cambridge University Press. Capitulo 2.
- ^ País, A. (1982). Sutil es el Señor: la ciencia y la vida de Albert Einstein . Prensa de la Universidad de Oxford.
- ^ Roseveare, NT (1982). Perihelio de Mercurio de Le Verrier a Einstein . Prensa de la Universidad de Oxford.
- ^ Proposición 17.25 de Hall 2013 .
- ↑ Hall 2013 Proposition 18.7; tenga en cuenta que Hall utiliza una normalización diferente del vector LRL.
- ^ a b Teorema 18.9 de Hall 2013 .
- ^ a b Salón 2013 Sección 18.4.4.
- ^ Dirac, PAM (1958). Principios de la mecánica cuántica (4ª ed. Revisada). Prensa de la Universidad de Oxford.
- ^ Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" . Annalen der Physik . 384 (4): 361–376. Código Bibliográfico : 1926AnP ... 384..361S . doi : 10.1002 / yp.19263840404 .
- ↑ Hall 2013 Proposición 18.12.
- ^ Merzbacher, Eugen (7 de enero de 1998). Mecánica cuántica . John Wiley e hijos. págs. 268-270. ISBN 978-0-471-88702-7.
- ^ Teorema de Hall 2013 18.14.
- ^ a b Prince, GE; Eliezer CJ (1981). "Sobre las simetrías de Lie del problema clásico de Kepler". Revista de Física A: Matemática y General . 14 (3): 587–596. Código Bibliográfico : 1981JPhA ... 14..587P . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 14/3/009 .
- ^ a b Bander, M .; Itzykson C. (1966). "Teoría de grupos y el átomo de hidrógeno (I)" . Reseñas de Física Moderna . 38 (2): 330–345. Código Bibliográfico : 1966RvMP ... 38..330B . doi : 10.1103 / RevModPhys.38.330 .
- ^ Bander, M .; Itzykson C. (1966). "Teoría de grupos y el átomo de hidrógeno (II)". Reseñas de Física Moderna . 38 (2): 346–358. Código Bibliográfico : 1966RvMP ... 38..346B . doi : 10.1103 / RevModPhys.38.346 .
- ^ Rogers, HH (1973). "Transformaciones de simetría del problema clásico de Kepler". Revista de Física Matemática . 14 (8): 1125–1129. Código Bibliográfico : 1973JMP .... 14.1125R . doi : 10.1063 / 1.1666448 .
- ^ Guillemin, V .; Sternberg S. (1990). Variaciones sobre un tema de Kepler . 42 . Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1042-1.
- ^ Lakshmanan, M .; Hasegawa H. (1984). "Sobre la equivalencia canónica del problema de Kepler en espacios de coordenadas y momentos". Journal of Physics A . 17 (16): L889 – L893. Código Bibliográfico : 1984JPhA ... 17L.889L . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 17/16/006 .
- ^ Redmond, PJ (1964). "Generalización del vector de Runge-Lenz en presencia de un campo eléctrico". Revisión física . 133 (5B): B1352 – B1353. Código Bibliográfico : 1964PhRv..133.1352R . doi : 10.1103 / PhysRev.133.B1352 .
- ^ Salón 2013 Proposición 2.34.
- ^ Dulock, VA; McIntosh HV (1966). "Sobre la degeneración del problema de Kepler" . Pacific Journal of Mathematics . 19 : 39–55. doi : 10.2140 / pjm.1966.19.39 .
- ^ Lévy-Leblond, JM (1971). "Leyes de conservación para lagrangianos de calibre invariante en la mecánica clásica". Revista estadounidense de física . 39 (5): 502–506. Código bibliográfico : 1971AmJPh..39..502L . doi : 10.1119 / 1.1986202 .
- ^ González-Gascón, F. (1977). "Apuntes sobre las simetrías de sistemas de ecuaciones diferenciales". Revista de Física Matemática . 18 (9): 1763-1767. Código bibliográfico : 1977JMP .... 18.1763G . doi : 10.1063 / 1.523486 .
- ^ Mentira, S. (1891). Vorlesungen über Differentialgleichungen . Leipzig: Teubner.
- ^ Ince, EL (1926). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: Dover (reimpresión de 1956). págs. 93-113.
Otras lecturas
- Báez, John (2008). "El problema de Kepler revisado: el vector de Laplace-Runge-Lenz" (PDF) . Consultado el 31 de mayo de 2021 .
- Báez, John (2003). "Misterios del problema gravitacional de 2 cuerpos" . Archivado desde el original el 21 de octubre de 2008 . Consultado el 11 de diciembre de 2004 .
- Báez, John (2018). "Misterios del problema gravitacional de 2 cuerpos" . Consultado el 31 de mayo de 2021 . Versión actualizada de la fuente anterior.
- D'Eliseo, MM (2007). "La ecuación orbital de primer orden". Revista estadounidense de física . 75 (4): 352–355. Código Bibliográfico : 2007AmJPh..75..352D . doi : 10.1119 / 1.2432126 .
- Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158.
- Leach, PGL; GP Flessas (2003). "Generalizaciones del vector de Laplace-Runge-Lenz". J. Matemáticas no lineales. Phys . 10 (3): 340–423. arXiv : matemáticas-ph / 0403028 . Código bibliográfico : 2003JNMP ... 10..340L . doi : 10.2991 / jnmp.2003.10.3.6 .