En álgebra abstracta , un grupo parcialmente ordenado es un grupo ( G , +) equipado con un orden parcial "≤" que es invariante en traducción ; en otras palabras, "≤" tiene la propiedad de que, para todo a , b y g en G , si a ≤ b entonces a + g ≤ b + g y g + a ≤ g + b .
Un elemento x de G se llama positivo si 0 ≤ x . El conjunto de elementos 0 ≤ x a menudo se denota con G + y se llama el cono positivo de G .
Por invariancia de traducción, tenemos a ≤ b si y solo si 0 ≤ - a + b . Entonces podemos reducir el orden parcial a una propiedad monádica: a ≤ b si y solo si - a + b ∈ G + .
Para el grupo general G , la existencia de un cono positivo especifica un orden en G. Un grupo G es un grupo parcialmente ordenable si y solo si existe un subconjunto H (que es G + ) de G tal que:
Se dice que un grupo G parcialmente ordenado con cono positivo G + no está perforado si n · g ∈ G + para algún entero positivo n implica g ∈ G + . Ser no perforado significa que no hay "brecha" en el cono positivo G + .
Si el orden en el grupo es un orden lineal , entonces se dice que es un grupo ordenado linealmente . Si el orden en el grupo es un orden de celosía , es decir, dos elementos cualesquiera tienen un límite superior mínimo, entonces es un grupo ordenado de celosía (abreviadamente l-group , aunque generalmente se escribe con un script l: ℓ-group).