principio de Fermat

El principio de Fermat , también conocido como el principio del tiempo mínimo , es el vínculo entre la óptica de rayos y la óptica de ondas . En su forma "fuerte" original, ^[1] el principio de Fermat establece que el camino recorrido por un rayo entre dos puntos dados es el camino que se puede recorrer en el menor tiempo. Para que sea cierta en todos los casos, esta afirmación debe debilitarse reemplazando el tiempo "mínimo" por un tiempo " estacionario " con respecto a las variaciones del camino, de modo que una desviación en el camino provoque, a lo sumo, un cambio de segundo orden en el tiempo de recorrido. Para decirlo libremente,la trayectoria de un rayo está rodeada de trayectorias cercanas que pueden ser atravesadas en muytiempos de cierre. Se puede demostrar que esta definición técnica corresponde a nociones más intuitivas de un rayo, como una línea de visión o la trayectoria de un haz estrecho .

Propuesto por primera vez por el matemático francés Pierre de Fermat en 1662, como un medio para explicar la ley ordinaria de refracción de la luz (Fig. 1), el principio de Fermat fue inicialmente controvertido porque parecía atribuir conocimiento e intención a la naturaleza. No fue sino hasta el siglo XIX que se entendió que la capacidad de la naturaleza para probar caminos alternativos es simplemente una propiedad fundamental de las ondas. ^[2] Si se dan los puntos A y B , un frente de onda que se expande desde A barre todas las posibles trayectorias de rayos que irradian desde A , ya sea que pasen por B o no. Si el frente de onda alcanza el punto B, barre no solo la (s) trayectoria(s) del rayo de A a B , sino también una infinidad de trayectorias cercanas con los mismos puntos finales. El principio de Fermat describe cualquier rayo que llega al punto B ; no hay ninguna implicación de que el rayo "conociera" el camino más rápido o "tenía la intención" de tomar ese camino.

Con el propósito de comparar los tiempos de recorrido, el tiempo desde un punto hasta el siguiente punto designado se toma como si el primer punto fuera una fuente puntual . ^[3] Sin esta condición, el tiempo de recorrido sería ambiguo; por ejemplo, si el tiempo de propagación de $P$ a $P'$ fuera calculado a partir de un frente de onda arbitrario W que contiene $P$ (Fig. 2), ese tiempo podría hacerse arbitrariamente pequeño inclinando adecuadamente el frente de onda.

Tratar un punto del camino como una fuente es el requisito mínimo del principio de Huygens y es parte de la explicación del principio de Fermat. Pero también se puede demostrar que la construcción geométrica mediante la cual Huygens trató de aplicar su propio principio (a diferencia del principio mismo) es simplemente una invocación del principio de Fermat. ^[4] Por lo tanto, todas las conclusiones que Huygens extrajo de esa construcción, incluidas, entre otras, las leyes de la propagación rectilínea de la luz, la reflexión ordinaria, la refracción ordinaria y la refracción extraordinaria del " cristal de Islandia " (calcita), también son consecuencias de principio de Fermat.

Entonces, los diversos caminos de propagación de A a B se ayudarán entre sí si sus tiempos de recorrido concuerdan dentro de dicha tolerancia. Para una pequeña tolerancia (en el caso límite), el rango permisible de variaciones de la trayectoria se maximiza si la trayectoria es tal que su tiempo de recorrido es estacionario con respecto a las variaciones, de modo que una variación de la trayectoria provoca como máximo un segundo -Cambio de orden en el tiempo de recorrido. ^[5]

El ejemplo más obvio de una estacionariedad en el tiempo transversal es un mínimo (local o global), es decir, un camino de tiempo mínimo , como en la forma "fuerte" del principio de Fermat. Pero esa condición no es esencial para el argumento. ^{[Nota 2]}

Fig. 1 : Principio de Fermat en el caso de la refracción de la luz en una superficie plana entre (digamos) el aire y el agua. Dado un objeto-punto A en el aire, y un punto de observación B en el agua, el punto de refracción P es el que minimiza el tiempo que tarda la luz en recorrer el camino APB . Si buscamos el valor requerido de x , encontramos que los ángulos α y β satisfacen la ley de Snell .