Teorema de la densidad de Lebesgue
En matemáticas , el teorema de la densidad de Lebesgue establece que para cualquier conjunto medible de Lebesgue , la "densidad" de A es 0 o 1 en casi todos los puntos de . Además, la "densidad" de A es 1 en casi todos los puntos en A . Intuitivamente, esto significa que el "borde" de A , el conjunto de puntos en A cuya "vecindad" está parcialmente en A y parcialmente fuera de A , es despreciable .
Sea μ la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano R n y A sea un subconjunto medible de Lebesgue de R n . Defina la densidad aproximada de A en una vecindad ε de un punto x en R n como
En otras palabras, para cada conjunto medible A , la densidad de A es 0 o 1 en casi todas partes de R n . [1] Sin embargo, si μ ( A )> 0 y μ ( R n \ A )> 0 , entonces siempre hay puntos de R n donde la densidad no es ni 0 ni 1.
Por ejemplo, dado un cuadrado en el plano, la densidad en cada punto dentro del cuadrado es 1, en los bordes es 1/2 y en las esquinas es 1/4. El conjunto de puntos en el plano en el que la densidad no es ni 0 ni 1 no está vacío (el límite del cuadrado), pero es insignificante.
Por lo tanto, este teorema también es cierto para cada medida finita de Borel en R n en lugar de la medida de Lebesgue, ver Discusión .
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