En matemáticas , el teorema de diferenciación de Lebesgue es un teorema de análisis real , que establece que para casi todos los puntos, el valor de una función integrable es el límite de los promedios infinitesimales tomados sobre el punto. El teorema lleva el nombre de Henri Lebesgue .
Declaración
Para una función f de valor complejo o real integrable de Lebesgue en R n , la integral indefinida es una función de conjunto que mapea un conjunto A medible a la integral de Lebesgue de, dónde denota la función característica del conjunto A . Suele estar escrito
con λ la medida n- dimensional de Lebesgue .
La derivada de esta integral en x se define como
donde | B | denota el volumen ( es decir , la medida de Lebesgue) de una bola B centrada en x , y B → x significa que el diámetro de B tiende a 0.
El teorema de diferenciación de Lebesgue ( Lebesgue 1910 ) establece que esta derivada existe y es igual af ( x ) en casi todos los puntos x ∈ R n . [1] De hecho, una afirmación un poco más fuerte es cierta. Tenga en cuenta que:
La afirmación más fuerte es que el lado derecho tiende a cero para casi todos los puntos x . Los puntos x para los que esto es cierto se denominan puntos de Lebesgue de f .
También es válida una versión más general. Se pueden reemplazar las bolas B por una familia.de conjuntos U de excentricidad acotada . Esto significa que existe algo fijo c > 0 tal que cada conjunto U de la familia está contenido en una bola B con. También se supone que todo punto x ∈ R n está contenido en conjuntos arbitrariamente pequeños de. Cuando estos conjuntos se reducen ax , se cumple el mismo resultado: para casi todos los puntos x ,
La familia de los cubos es un ejemplo de tal familia. , como es la familia ( m ) de rectángulos en R 2 tal que la razón de lados se mantenga entre m −1 y m , para algún m fijo ≥ 1. Si se da una norma arbitraria sobre R n , la familia de bolas para la métrica asociada a la norma es otro ejemplo.
El caso unidimensional fue probado anteriormente por Lebesgue (1904) . Si f es integrable en la línea real, la función
es diferenciable en casi todas partes, con Fueron definido por una integral de Riemann, este sería esencialmente el teorema fundamental del cálculo , pero Lebesgue demostró que sigue siendo cierto cuando se usa la integral de Lebesgue. [2]
Prueba
El teorema en su forma más fuerte —que casi cada punto es un punto de Lebesgue de una función localmente integrable f— puede demostrarse como consecuencia de las estimaciones débiles de L 1 para la función máxima de Hardy-Littlewood . La siguiente prueba sigue el tratamiento estándar que se puede encontrar en Benedetto & Czaja (2009) , Stein & Shakarchi (2005) , Wheeden & Zygmund (1977) y Rudin (1987) .
Dado que el enunciado es de carácter local, se puede suponer que f es cero fuera de una bola de radio finito y, por tanto, integrable. Entonces es suficiente demostrar que el conjunto
tiene medida 0 para todo α > 0.
Sea ε > 0. Utilizando la densidad de funciones continuas de soporte compacto en L 1 ( R n ) , se puede encontrar una función g satisfactoria
Entonces es útil reescribir la diferencia principal como
El primer término puede estar acotado por el valor en x de la función máxima para f - g , denotado aquí por:
El segundo término desaparece en el límite ya que g es una función continua, y el tercer término está acotado por | f ( x ) - g ( x ) |. Para que el valor absoluto de la diferencia original sea mayor que 2 α en el límite, al menos uno de los términos primero o tercero debe ser mayor que α en valor absoluto. Sin embargo, la estimación de la función de Hardy-Littlewood dice que
para alguna constante A n dependiendo sólo de la dimensión n . La desigualdad de Markov (también llamada desigualdad de Tchebyshev) dice que
De dónde
Dado que ε era arbitrario, se puede considerar que es arbitrariamente pequeño, y el teorema sigue.
Discusión de la prueba
El lema de cobertura de Vitali es vital para la demostración de este teorema; su papel radica en probar la estimación de la función máxima de Hardy-Littlewood .
El teorema también es válido si las bolas se reemplazan, en la definición de la derivada, por familias de conjuntos con diámetro que tiende a cero que satisfaga la condición de regularidad de Lebesgue , definida anteriormente como familia de conjuntos con excentricidad acotada . Esto se sigue ya que se puede hacer la misma sustitución en la declaración del lema de cobertura de Vitali.
Discusión
Se trata de una analogía y una generalización del teorema fundamental del cálculo , que equipara una función integrable de Riemann y la derivada de su integral (indefinida). También es posible mostrar lo contrario: que toda función diferenciable es igual a la integral de su derivada, pero esto requiere una integral de Henstock-Kurzweil para poder integrar una derivada arbitraria.
Un caso especial del teorema de diferenciación de Lebesgue es el teorema de densidad de Lebesgue , que es equivalente al teorema de diferenciación para funciones características de conjuntos medibles. El teorema de la densidad generalmente se demuestra usando un método más simple (por ejemplo, ver Medida y Categoría).
Este teorema también es cierto para cada medida finita de Borel en R n en lugar de la medida de Lebesgue (se puede encontrar una demostración en, por ejemplo, ( Ledrappier & Young 1985 ) ). De manera más general, es cierto para cualquier medida de Borel finita en un espacio métrico separable de modo que al menos uno de los siguientes se mantenga:
- el espacio métrico es una variedad riemanniana ,
- el espacio métrico es un espacio ultramétrico localmente compacto ,
- la medida se está duplicando .
Una prueba de estos resultados se puede encontrar en las secciones 2.8-2.9 de (Federer 1969).
Ver también
Referencias
- ^ Folland, GB (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2 ed.). Nueva York: Wiley. pp. Capítulo 3. ISBN 0-471-31716-0. OCLC 39849337 .
- ^ McDonald, John N. (2013). Un curso de análisis real . NA Weiss (2 ed.). Boston, Mass .: Academic Press / Elsevier. ISBN 978-0-12-387774-1. OCLC 754105634 .
- Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitives . París: Gauthier-Villars.
- Lebesgue, Henri (1910). "Sur l'integration des fonctions se interrumpe" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 27 : 361–450. doi : 10.24033 / asens.624 .
- Wheeden, Richard L .; Zygmund, Antoni (1977). Medir e integral: una introducción al análisis real . Marcel Dekker.
- Oxtoby, John C. (1980). Medida y Categoría . Springer Verlag.
- Stein, Elias M .; Shakarchi, Rami (2005). Análisis real . Conferencias de Princeton sobre análisis, III. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. xx + 402. ISBN 0-691-11386-6. SEÑOR2129625
- Benedetto, John J .; Czaja, Wojciech (2009). Integración y análisis moderno . Textos avanzados Birkhäuser. Saltador. págs. 361–364. ISBN 978-0817643065.
- Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada (3ª ed.). McGraw – Hill. ISBN 0070542341.
- Ledrappier, F .; Young, LS (1985). "La entropía métrica de diffeomorfismos: parte I: caracterización de medidas que satisfacen la fórmula de entropía de Pesin". Annals of Mathematics . 122 (3): 509–539. doi : 10.2307 / 1971328 . JSTOR 1971328 .
- Federer, Herbert (1969). Teoría de la medida geométrica . Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, Band. 153 . Nueva York: Springer-Verlag New York Inc.